Determine o intervalo máximo de convergência de cada uma das séries de potências abaixo: sumn=1^infty(-1)^n-1 (x-5)^nn 3^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o intervalo máximo de convergência da série de potências:
sumn=1^infty (-1)^n-1 (x - 5)^nn cdot 3^n
Matéria envolvida: Séries de Potências e Testes de Convergência (como o Teste da Razão).
O que vamos precisar: Conhecimento sobre séries de potências, o Teste da Razão para determinar a convergência e um pouco de álgebra para resolver as inequações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o intervalo de convergência. Basicamente, queremos saber para quais valores de sumn=1^infty an (x - c)^n a série dá certo, ou seja, soma até um número finito.
Nossa série é uma série de potências centrada em . O formato geral é:
onde é o centro da série, no nosso caso, 5.

Passo 3

Para encontrar o intervalo de convergência, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste é super útil para determinar para quais valores de L = limn to infty | an+1an | a série converge.
O Teste da Razão basicamente calcula o limite:
Se , a série converge; se , diverge; e se , não dá para dizer com esse teste.

Passo 4

Vamos identificar an = (-1)^n-1 (x - 5)^nn cdot 3^n na nossa série:
an+1an = (-1)^(n+1)-1 (x - 5)^n+1(n+1) cdot 3^n+1(-1)^n-1 (x - 5)^nn cdot 3^n = (-1) cdot (x - 5)^n+1(n+1) cdot 3^n+1 cdot n cdot 3^n(x - 5)^n
Agora, vamos calcular an+1an = - cdot (x - 5) cdot n3 cdot (n + 1) :
Simplificando:
| an+1an | = |x - 5| cdot n3 cdot (n + 1)
Como vamos considerar o valor absoluto para o Teste da Razão, o sinal negativo some:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty |x - 5| cdot n3 cdot (n + 1) = limn to infty |x - 5|3 cdot nn + 1 = |x - 5|3 cdot limn to infty nn + 1 tende ao infinito:
limn to infty nn + 1 = 1
Sabemos que:
L = |x - 5|3
Então:

Passo 6

De acordo com o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que |x - 5|3 < 1 :
|x - 5| < 3
Vamos resolver essa inequação para encontrar os valores de :
Isso significa que a distância entre e 5 deve ser menor que 3.

Passo 7

Resolvendo a inequação -3 < x - 5 < 3 , temos:
-3 + 5 < x < 3 + 5
Agora, vamos somar 5 em todos os lados da desigualdade:
2 < x < 8
Então, a série converge para valores de entre 2 e 8 (exclusivos).

Passo 8

Agora, precisamos verificar o que acontece nos extremos do intervalo, ou seja, quando sumn=1^infty (-1)^n-1 (2 - 5)^nn cdot 3^n = sumn=1^infty (-1)^n-1 (-3)^nn cdot 3^n = sumn=1^infty (-1)^n-1 (-1)^n 3^nn cdot 3^n = sumn=1^infty (-1)^2n-1n = -sumn=1^infty 1n e sumn=1^infty (-1)^n-1 (8 - 5)^nn cdot 3^n = sumn=1^infty (-1)^n-1 3^nn cdot 3^n = sumn=1^infty (-1)^n-1n .
Para :
Substituindo na série:
Essa é a série harmônica alternada que converge.
Para :
Substituindo na série:
Essa também é a série harmônica alternada que converge.

Resposta

O intervalor máximo de convergência da série é .

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