Sejam A=(cccc0 & -1 & 6 & -1 0 & 1 & 7 & -3 8 & -1 & 5 & 0 0 & 0 & -2 & -2 -1 & 0 & 1 & 0), B=(ccc-1 & 1 & 1 0 & 1 & -2 -1 & 0 & 0 5 & -5 & 0), C=(cc0 & 0 0 & 0 2 & -1 -1 & 1) e D=(ccccc-1 & -2 & -4 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 2 & 7). Encontre A B, A C, C D, D A,(C D) A, A(C D)

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício pede. Temos quatro matrizes e de diferentes dimensões. O objetivo é encontrar os produtos , , , , e .
Conteúdo da matéria: Multiplicação de matrizes.
O que precisamos para resolver:
  • Conhecer as regras de multiplicação de matrizes, principalmente como as dimensões das matrizes influenciam na possibilidade de multiplicação.
  • Saber calcular o produto de duas matrizes passo a passo.

Passo 2

Antes de multiplicar as matrizes, precisamos verificar se as multiplicações são possíveis. Para multiplicar uma matriz de dimensão por uma matriz de dimensão , o número de colunas de deve ser igual ao número de linhas de . O resultado será uma matriz de dimensão .
Vamos verificar cada multiplicação:
  1. :
    • é uma matriz .
    • é uma matriz .
    • Como o número de colunas de (4) é igual ao número de linhas de (4), podemos multiplicar por .
    • O resultado será uma matriz .
  2. :
    • é .
    • é .
    • Podemos multiplicar por , resultando em uma matriz .
  3. :
    • é .
    • é .
    • Podemos multiplicar por , resultando em uma matriz .
  4. :
    • é .
    • é .
    • Podemos multiplicar por , resultando em uma matriz .
  5. :
    • Já calculamos como .
    • é .
    • Podemos multiplicar por , resultando em uma matriz .
  6. :
    • é .
    • é .
    • Podemos multiplicar por , resultando em uma matriz .

Passo 3

Vamos começar a multiplicar as matrizes uma por uma.

Multiplicando AB = 0 & -1 & 6 & -1 0 & 1 & 7 & -3 8 & -1 & 5 & 0 0 & 0 & -2 & -2 -1 & 0 & 1 & 0 -1 & 1 & 1 0 & 1 & -2 -1 & 0 & 0 5 & -5 & 0

Para multiplicar (AB)1,1 = (0)(-1) + (-1)(0) + (6)(-1) + (-1)(5) = 0 + 0 - 6 -5 = -11 por AB = -11 & 6 & 0 -22 & 6 & 0 -13 & 14 & 8 -12 & 10 & 0 -6 & 1 & -1 , seguimos a regra de multiplicação de matrizes. Cada elemento AC = 0 & -1 & 6 & -1 0 & 1 & 7 & -3 8 & -1 & 5 & 0 0 & 0 & -2 & -2 -1 & 0 & 1 & 0 0 & 0 0 & 0 2 & -1 -1 & 1 da matriz resultado é obtido pela soma do produto dos elementos da linha (AC)1,1 = (0)(0) + (-1)(0) + (6)(2) + (-1)(-1) = 0 + 0 + 12 + 1 = 13 de AC = 13 & -7 17 & -10 -2 & 6 2 & -2 -1 & 1 com os elementos da coluna CD = 0 & 0 0 & 0 2 & -1 -1 & 1 -1 & -2 & -4 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 2 & 7 de (CD)3,1 = (2)(-1) + (-1)(1) = -2 -1 = -3 .
CD = 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 -3 & -4 & -8 & 4 & 14 2 & -2 & -4 & 2 & 7
Vamos calcular o elemento na posição (1,1) de DA = -1 & -2 & -4 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 2 & 7 0 & -1 & 6 & -1 0 & 1 & 7 & -3 8 & -1 & 5 & 0 0 & 0 & -2 & -2 -1 & 0 & 1 & 0 :
(DA)1,1 = (-1)(0) + (-2)(0) + (-4)(8) + (0)(0) + (0)(-1) = 0 + 0 -32 + 0 + 0 = -32
Repetindo esse processo para todos os elementos, obtemos:
DA = -32 & 3 & -26 & 2 -1 & -1 & 7 & -7

Multiplicando (CD)A = 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 -3 & -4 & -8 & 4 & 14 2 & -2 & -4 & 2 & 7 0 & -1 & 6 & -1 0 & 1 & 7 & -3 8 & -1 & 5 & 0 0 & 0 & -2 & -2 -1 & 0 & 1 & 0

((CD)A)3,1 = (-3)(0) + (-4)(0) + (-8)(8) + (4)(0) + (14)(-1) = 0 + 0 -64 + 0 -14 = -78
Calculando, por exemplo, o elemento (1,1):
(CD)A = 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 -78 & 11 & 28 & 2 -4 & 2 & 18 & 2
O resultado completo:
A(CD) = 0 & -1 & 6 & -1 0 & 1 & 7 & -3 8 & -1 & 5 & 0 0 & 0 & -2 & -2 -1 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 -3 & -4 & -8 & 4 & 14 2 & -2 & -4 & 2 & 7

Multiplicando (A(CD))1,1 = (0)(0) + (-1)(0) + (6)(-3) + (-1)(2) = 0 + 0 -18 -2 = -20

A(CD) = -20 & 8 & 40 & -20 & 80 -18 & 12 & 68 & -22 & 106 -14 & 4 & -44 & 28 & 98 4 & 4 & 20 & -4 & 28 3 & -4 & -12 & 4 & 28
Calculando o elemento (3,1):
Resultado completo:

Multiplicando

Calculando o elemento (1,1):
Resultado completo:

Multiplicando

Já calculamos como e é , então:
Calculando o elemento (3,1):
Resultado completo:

Multiplicando

Calculando o elemento (1,1):
Resultado completo:

Resposta

Os produtos das matrizes são:
AB = -11 & 6 & 0 -22 & 6 & 0 -13 & 14 & 8 -12 & 10 & 0 -6 & 1 & -1 , AC = 13 & -7 17 & -10 -2 & 6 2 & -2 -1 & 1 ,
CD = 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 -3 & -4 & -8 & 4 & 14 2 & -2 & -4 & 2 & 7 , DA = -32 & 3 & -26 & 2 -1 & -1 & 7 & -7 ,
(CD)A = 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 -78 & 11 & 28 & 2 -4 & 2 & 18 & 2 , A(CD) = -20 & 8 & 40 & -20 & 80 -18 & 12 & 68 & -22 & 106 -14 & 4 & -44 & 28 & 98 4 & 4 & 20 & -4 & 28 3 & -4 & -12 & 4 & 28

Exercícios relacionados