Se
e
são compactos, mostre que
e
são compactos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois conjuntos,
e
, que são compactos. Nosso objetivo é mostrar que, quando a gente soma esses conjuntos (
) ou multiplica eles (
), o resultado também vai ser um conjunto compacto. Para isso, precisamos entender o que é compacto na matemática e como operações como soma e multiplicação afetam essa propriedade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser compacto. Em termos simples, num espaço como os números reais
, um conjunto é compacto se ele é limitado (tem um tamanho finito) e fechado (contém todos os seus pontos de limite). Isso é super importante porque conjuntos compactos têm várias propriedades legais, especialmente quando aplicamos funções contínuas a eles.
Passo 3
Vamos começar mostrando que
é compacto. A soma de dois conjuntos
é definida como todos os possíveis resultados da soma de um elemento de
com um elemento de
:
Agora, a soma é uma função contínua. E uma propriedade chave na matemática é que a imagem de um conjunto compacto através de uma função contínua também é compacta. Já que
e
são compactos e a soma é contínua,
deve ser compacto.
Passo 4
Agora, vamos para
. A multiplicação de dois conjuntos funciona de maneira similar:
A multiplicação também é uma função contínua. Assim como com a soma, a imagem de conjuntos compactos através de uma função contínua é compacta. Portanto,
também será compacto.
Passo 5
Além disso, em
, a soma e a multiplicação de conjuntos fechados e limitados resultam em conjuntos fechados e limitados. Isso reforça que ambas as operações preservam a compacidade dos conjuntos.
Resposta
Então, concluímos que tanto
quanto
são conjuntos compactos quando
e
são compactos.
Exercícios relacionados
(b)
Determine
e
.
Encontrar a derivada direcional de
no ponto
: no sentido de um vetor
tal que
.
Verifique se as seguintes são verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, demonstre; caso contrário, dê um contra-exemplo.
a) A reunião arbitrária de conjuntos compactos é compacto.
a) A reunião arbitrária de conjuntos compactos é compacto.