Se e são compactos, mostre que e são compactos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois conjuntos, e , que são compactos. Nosso objetivo é mostrar que, quando a gente soma esses conjuntos ( ) ou multiplica eles ( ), o resultado também vai ser um conjunto compacto. Para isso, precisamos entender o que é compacto na matemática e como operações como soma e multiplicação afetam essa propriedade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser compacto. Em termos simples, num espaço como os números reais , um conjunto é compacto se ele é limitado (tem um tamanho finito) e fechado (contém todos os seus pontos de limite). Isso é super importante porque conjuntos compactos têm várias propriedades legais, especialmente quando aplicamos funções contínuas a eles.

Passo 3

Vamos começar mostrando que é compacto. A soma de dois conjuntos é definida como todos os possíveis resultados da soma de um elemento de com um elemento de :
Agora, a soma é uma função contínua. E uma propriedade chave na matemática é que a imagem de um conjunto compacto através de uma função contínua também é compacta. Já que e são compactos e a soma é contínua, deve ser compacto.

Passo 4

Agora, vamos para . A multiplicação de dois conjuntos funciona de maneira similar:
A multiplicação também é uma função contínua. Assim como com a soma, a imagem de conjuntos compactos através de uma função contínua é compacta. Portanto, também será compacto.

Passo 5

Além disso, em , a soma e a multiplicação de conjuntos fechados e limitados resultam em conjuntos fechados e limitados. Isso reforça que ambas as operações preservam a compacidade dos conjuntos.

Resposta

Então, concluímos que tanto quanto são conjuntos compactos quando e são compactos.

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes intograis:
(b)
Determine e .
Encontrar a derivada direcional de no ponto : no sentido de um vetor tal que .
Verifique se as seguintes são verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, demonstre; caso contrário, dê um contra-exemplo.
a) A reunião arbitrária de conjuntos compactos é compacto.