Calcule as seguintes intograis:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular uma integral tripla, que é basicamente somar valores em três dimensões diferentes. No caso, a integral é
. Para resolver isso, vamos precisar entender como fazer integrais dentro de integrais, também conhecidas como integrais iteradas.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte mais interna da integral, que é
. Isso significa que vamos integrar a função
em relação a
, de 0 até
.
Passo 3
A integral de
em relação a
é
. Então, avaliando de 0 até
, temos:
Passo 4
Agora, substituímos esse resultado na integral do meio, que é
. Aqui, estamos integrando em relação a
, mas como a expressão não depende de
, a integral é simplesmente a expressão multiplicada pela diferença dos limites de
.
Passo 5
A diferença dos limites de
é
. Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, substituímos esse resultado na última integral, que é
. Vamos expandir
para facilitar a integração:
Então, a expressão fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Calculando cada integral:
Passo 8
Substituindo de volta:
Agora, avaliaremos de 0 a 1:
Passo 9
Vamos somar os termos dentro do parênteses. Para isso, encontramos um denominador comum, que é 12:
Somando:
Passo 10
Multiplicando pelo
:
Resposta
O valor da integral tripla é
.
Exercícios relacionados
Determine
e
.
Se
é uma família qualquer de compactos, então
é compacto.
Se
e
são compactos, mostre que
e
são compactos.
Encontrar a derivada direcional de
no ponto
: no sentido de um vetor
tal que
.