(1,5) Calcule as seguintes intograis:
(b) integral0^1 integralx^2 x integral0^x+1 z d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular uma integral tripla, que é basicamente somar valores em três dimensões diferentes. No caso, a integral é . Para resolver isso, vamos precisar entender como fazer integrais dentro de integrais, também conhecidas como integrais iteradas.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte mais interna da integral, que é . Isso significa que vamos integrar a função em relação a , de 0 até .

Passo 3

A integral de 12(x+1)^2 - 12(0)^2 = 12(x+1)^2 em relação a é . Então, avaliando de 0 até , temos:

Passo 4

Agora, substituímos esse resultado na integral do meio, que é . Aqui, estamos integrando em relação a , mas como a expressão não depende de , a integral é simplesmente a expressão multiplicada pela diferença dos limites de .

Passo 5

A diferença dos limites de 12(x+1)^2 times x = 12x(x+1)^2 é . Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, substituímos esse resultado na última integral, que é (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 . Vamos expandir 12x(x^2 + 2x + 1) = 12(x^3 + 2x^2 + x) para facilitar a integração:
Então, a expressão fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
12 ( integral x^3 , dx + 2 integral x^2 , dx + integral x , dx )
Calculando cada integral:
integral x^3 , dx = 14x^4
2 integral x^2 , dx = 2 times 13x^3 = 23x^3
integral x , dx = 12x^2

Passo 8

Substituindo de volta:
12 ( 14x^4 + 23x^3 + 12x^2 )
Agora, avaliaremos de 0 a 1:
12 ( 14(1)^4 + 23(1)^3 + 12(1)^2 ) - 12 ( 0 + 0 + 0 )
= 12 ( 14 + 23 + 12 )

Passo 9

Vamos somar os termos dentro do parênteses. Para isso, encontramos um denominador comum, que é 12:
14 = 312, 23 = 812, 12 = 612
Somando:
312 + 812 + 612 = 1712

Passo 10

Multiplicando pelo 12 times 1712 = 1724 :

Resposta

O valor da integral tripla é .

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