Calcule as seguintes intograis:
(b)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular uma integral tripla, que é basicamente somar valores em três dimensões diferentes. No caso, a integral é . Para resolver isso, vamos precisar entender como fazer integrais dentro de integrais, também conhecidas como integrais iteradas.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte mais interna da integral, que é . Isso significa que vamos integrar a função em relação a , de 0 até .

Passo 3

A integral de em relação a é . Então, avaliando de 0 até , temos:

Passo 4

Agora, substituímos esse resultado na integral do meio, que é . Aqui, estamos integrando em relação a , mas como a expressão não depende de , a integral é simplesmente a expressão multiplicada pela diferença dos limites de .

Passo 5

A diferença dos limites de é . Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, substituímos esse resultado na última integral, que é . Vamos expandir para facilitar a integração:
Então, a expressão fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
Calculando cada integral:

Passo 8

Substituindo de volta:
Agora, avaliaremos de 0 a 1:

Passo 9

Vamos somar os termos dentro do parênteses. Para isso, encontramos um denominador comum, que é 12:
Somando:

Passo 10

Multiplicando pelo :

Resposta

O valor da integral tripla é .

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