Verifique se as seguintes são verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, demonstre; caso contrário, dê um contra-exemplo.
a) A reunião arbitrária de conjuntos compactos é compacto.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: “A reunião arbitrária de conjuntos compactos é compacto.” Aqui, estamos trabalhando com o conceito de conjuntos compactos dentro da topologia, uma área da matemática que estuda propriedades dos espaços que são preservadas através de deformações contínuas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser compacto e como as uniões de conjuntos compactos se comportam.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto compacto. Em termos simples, um conjunto em um espaço topológico é compacto se toda cobertura aberta de tem uma subcobertura finita. Isso significa que, se cobrirmos com várias aberturas, sempre podemos encontrar uma quantidade finita dessas aberturas que ainda cobre .

Passo 3

Agora, queremos saber se uma união arbitrária de conjuntos compactos também é compacta. Sabemos que a união finita de conjuntos compactos é compacta, mas o que acontece quando juntamos um número infinito de conjuntos compactos?

Passo 4

Vamos considerar um exemplo. Pense no conjunto real com a topologia usual. Para cada número natural , considere o intervalo fechado . Cada é compacto porque em , intervalos fechados e limitados são compactos (pelo Teorema de Heine-Borel).

Passo 5

Agora, vamos unir todos esses conjuntos :
O conjunto resultante é , que não é compacto. Isso ocorre porque, por exemplo, a cobertura aberta não possui uma subcobertura finita que cubra todo o intervalo .

Resposta

A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é a união dos intervalos para cada número natural , que resulta no conjunto , o qual não é compacto.

Exercícios relacionados

Encontrar a derivada direcional de no ponto : no sentido de um vetor tal que .
Se e são compactos, mostre que e são compactos.
Obtenha coberturas abertas de e de que não admitem subcoberturas finitas.
Calcule , sendo: ,