Verifique se as seguintes são verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, demonstre; caso contrário, dê um contra-exemplo.
a) A reunião arbitrária de conjuntos compactos é compacto.
a) A reunião arbitrária de conjuntos compactos é compacto.
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: “A reunião arbitrária de conjuntos compactos é compacto.” Aqui, estamos trabalhando com o conceito de conjuntos compactos dentro da topologia, uma área da matemática que estuda propriedades dos espaços que são preservadas através de deformações contínuas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser compacto e como as uniões de conjuntos compactos se comportam.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto compacto. Em termos simples, um conjunto
em um espaço topológico é compacto se toda cobertura aberta de
tem uma subcobertura finita. Isso significa que, se cobrirmos
com várias aberturas, sempre podemos encontrar uma quantidade finita dessas aberturas que ainda cobre
.
Passo 3
Agora, queremos saber se uma união arbitrária de conjuntos compactos também é compacta. Sabemos que a união finita de conjuntos compactos é compacta, mas o que acontece quando juntamos um número infinito de conjuntos compactos?
Passo 4
Vamos considerar um exemplo. Pense no conjunto real
com a topologia usual. Para cada número natural
, considere o intervalo fechado
. Cada
é compacto porque em
, intervalos fechados e limitados são compactos (pelo Teorema de Heine-Borel).
Passo 5
Agora, vamos unir todos esses conjuntos
:
O conjunto resultante é
, que não é compacto. Isso ocorre porque, por exemplo, a cobertura aberta
não possui uma subcobertura finita que cubra todo o intervalo
.
Resposta
A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é a união dos intervalos
para cada número natural
, que resulta no conjunto
, o qual não é compacto.
Exercícios relacionados
Encontrar a derivada direcional de
no ponto
: no sentido de um vetor
tal que
.
Se
e
são compactos, mostre que
e
são compactos.
Obtenha coberturas abertas de
e de
que não admitem subcoberturas finitas.
Calcule
, sendo:
,