Encontrar a derivada direcional de ln(x^2 + y^2 + z^2) no ponto (1, 2, -1) : no sentido de um vetor v tal que v · (1,2,-1) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção de um vetor que satisfaz . Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente o uso do gradiente e da derivada direcional. Para resolver, vamos precisar calcular o gradiente da função e entender como escolher o vetor que é perpendicular ao ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável:
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente fica:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Calculando :
Substituindo na expressão do gradiente:

Passo 5

Precisamos agora do vetor que é perpendicular a , ou seja, . Vamos escolher um vetor qualquer que satisfaça essa condição. Por exemplo, podemos escolher :

Passo 6

Para calcular a derivada direcional, precisamos que o vetor seja unitário (ou seja, tenha módulo 1). Vamos normalizar :
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 7

Finalmente, a derivada direcional de na direção de no ponto é dada pelo produto escalar do gradiente pelo vetor unitário:
Calculando o produto escalar:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é 0.

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