Encontrar a derivada direcional de
no ponto
: no sentido de um vetor
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção de um vetor
que satisfaz
. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente o uso do gradiente e da derivada direcional. Para resolver, vamos precisar calcular o gradiente da função e entender como escolher o vetor
que é perpendicular ao ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável:
Vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente fica:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Calculando
:
Substituindo na expressão do gradiente:
Passo 5
Precisamos agora do vetor
que é perpendicular a
, ou seja,
. Vamos escolher um vetor qualquer que satisfaça essa condição. Por exemplo, podemos escolher
:
Passo 6
Para calcular a derivada direcional, precisamos que o vetor
seja unitário (ou seja, tenha módulo 1). Vamos normalizar
:
Então, o vetor unitário
na direção de
é:
Passo 7
Finalmente, a derivada direcional de
na direção de
no ponto
é dada pelo produto escalar do gradiente pelo vetor unitário:
Calculando o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
é 0.
Exercícios relacionados
Se
e
são compactos, mostre que
e
são compactos.
(b)
Verifique se as seguintes são verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, demonstre; caso contrário, dê um contra-exemplo.
a) A reunião arbitrária de conjuntos compactos é compacto.
a) A reunião arbitrária de conjuntos compactos é compacto.
Obtenha coberturas abertas de
e de
que não admitem subcoberturas finitas.