Determine
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar quatro coisas sobre o conjunto
. A matéria aqui é topologia, que estuda as propriedades dos conjuntos que são preservadas mesmo se a gente esticar ou encurtar sem quebrar. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são interior, fechamento, conjunto derivado e fronteira de um conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o interior de
, que simbolizamos por
. O interior de um conjunto são todos os pontos que estão “bem dentro” dele, sem estar na borda. No caso de
, isso significa que vamos tirar os pontos que estão nas extremidades.
Então, o interior de
é o intervalo aberto, onde nem o
nem o
estão incluídos:
Passo 3
Agora, vamos para o fechamento de
, denotado por
. O fechamento de um conjunto inclui todos os pontos de
e também todos os seus pontos de limite (os pontos onde você pode “chegar” por dentro de
).
Como
já inclui
e vai até
sem incluir, o fechamento vai incluir o
também:
Passo 4
Em seguida, vamos determinar o conjunto derivado de
, representado por
. O conjunto derivado consiste em todos os pontos de
que são pontos de acumulação, ou seja, pontos onde você pode sempre encontrar outros pontos de
arbitrariamente próximos.
Para
, qualquer ponto dentro de
é um ponto de acumulação porque você pode encontrar outros pontos de também é um ponto de acumulação porque você pode se aproximar de
por valores maiores. O ponto
não está em
, então não faz parte de
.
Portanto:
Passo 5
Por último, vamos achar a fronteira de
, simbolizada por
. A fronteira é o conjunto de pontos que estão na borda de
, ou seja, pontos que estão tanto no fechamento de
quanto no fechamento do complemento de
.
Para
:
- O fechamento de
é . - O fechamento do complemento de
inclui e .
A fronteira, então, são os pontos que são limites de
e do seu complemento:
Resposta
Exercícios relacionados
Se
é uma família qualquer de compactos, então
é compacto.
Verifique se as seguintes são verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, demonstre; caso contrário, dê um contra-exemplo.
c) uma sequência descendente de conjuntos fechados e não vazios, então
.
c)
(b)
Se
e
são compactos, mostre que
e
são compactos.