Determine e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar quatro coisas sobre o conjunto . A matéria aqui é topologia, que estuda as propriedades dos conjuntos que são preservadas mesmo se a gente esticar ou encurtar sem quebrar. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são interior, fechamento, conjunto derivado e fronteira de um conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o interior de , que simbolizamos por . O interior de um conjunto são todos os pontos que estão “bem dentro” dele, sem estar na borda. No caso de , isso significa que vamos tirar os pontos que estão nas extremidades.
Então, o interior de é o intervalo aberto, onde nem o nem o estão incluídos:

Passo 3

Agora, vamos para o fechamento de , denotado por . O fechamento de um conjunto inclui todos os pontos de e também todos os seus pontos de limite (os pontos onde você pode “chegar” por dentro de ).
Como já inclui e vai até sem incluir, o fechamento vai incluir o também:

Passo 4

Em seguida, vamos determinar o conjunto derivado de , representado por . O conjunto derivado consiste em todos os pontos de que são pontos de acumulação, ou seja, pontos onde você pode sempre encontrar outros pontos de arbitrariamente próximos.
Para , qualquer ponto dentro de é um ponto de acumulação porque você pode encontrar outros pontos de também é um ponto de acumulação porque você pode se aproximar de por valores maiores. O ponto não está em , então não faz parte de .
Portanto:

Passo 5

Por último, vamos achar a fronteira de , simbolizada por . A fronteira é o conjunto de pontos que estão na borda de , ou seja, pontos que estão tanto no fechamento de quanto no fechamento do complemento de .
Para :
  • O fechamento de é .
  • O fechamento do complemento de inclui e .
A fronteira, então, são os pontos que são limites de e do seu complemento:

Resposta

Exercícios relacionados

Se é uma família qualquer de compactos, então é compacto.
Verifique se as seguintes são verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, demonstre; caso contrário, dê um contra-exemplo.
c) uma sequência descendente de conjuntos fechados e não vazios, então .
Calcule as seguintes intograis:
(b)
Se e são compactos, mostre que e são compactos.