A e B são dois pontos genéricos de um corpo rígido em movimento qualquer. Demonstrar que:
a)
é ortogonal ao vetor
;
b) A projeção das velocidades de B e A sobre a reta
são iguais;
c) A diferença
é um vetor ortogonal a (B
).
a)
b) A projeção das velocidades de B e A sobre a reta
c) A diferença
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois pontos, A e B, que estão fixos em um corpo rígido em movimento. Precisamos demonstrar três afirmações relacionadas às velocidades desses pontos e ao vetor que os conecta. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática de corpos rígidos, como derivadas de vetores ligados ao corpo e propriedades de vetores em movimento.
Passo 2
a) Demonstrar que
é ortogonal ao vetor
.
Primeiro, entendamos o que significa
. Esse termo representa a taxa de variação do vetor que vai de A para B em relação ao tempo. Em um corpo rígido, a distância entre A e B não muda, mas a direção pode mudar conforme o corpo gira.
Para um corpo rígido, a derivada de um vetor fixo no corpo é igual ao produto vetorial da velocidade angular
com o próprio vetor. Assim:
O produto vetorial de
com
resulta em um vetor que é perpendicular a ambos os vetores envolvidos. Portanto,
é ortogonal a
.
Passo 3
b) Demonstrar que a projeção das velocidades de B e A sobre a reta
são iguais.
A projeção da velocidade de um ponto sobre uma reta é calculada pelo produto escalar da velocidade com o vetor unitário na direção da reta.
Vamos considerar o vetor
e seu vetor unitário
.
As projeções das velocidades de B e A sobre
são:
Como o corpo é rígido, a velocidade relativa entre B e A deve ser perpendicular a
(como mostrado na parte a). Portanto:
Isso implica que:
Expandindo:
Portanto:
Dividindo ambos os lados por
:
Ou seja, as projeções das velocidades de B e A sobre a reta AB são iguais.
Passo 4
c) Demonstrar que a diferença
é um vetor ortogonal a
.
Já vimos na parte b que:
Subtraindo
de ambos os lados:
Fatorando
:
Isso significa que o vetor
é perpendicular a
, ou seja, é ortogonal a
.
Resposta
a)
é ortogonal a
.
b) As projeções das velocidades de B e A sobre a reta
são iguais.
c) A diferença
é um vetor ortogonal a
.