A e B são dois pontos genéricos de um corpo rígido em movimento qualquer. Demonstrar que:
a) d(B-A)d t é ortogonal ao vetor (B-A);
b) A projeção das velocidades de B e A sobre a reta over<=ftrightarrowA B são iguais;
c) A diferença vB-vA é um vetor ortogonal a (B -A ).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois pontos, A e B, que estão fixos em um corpo rígido em movimento. Precisamos demonstrar três afirmações relacionadas às velocidades desses pontos e ao vetor que os conecta. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática de corpos rígidos, como derivadas de vetores ligados ao corpo e propriedades de vetores em movimento.

Passo 2

a) Demonstrar que d(B-A)d t = omega times (B-A) é ortogonal ao vetor .
Primeiro, entendamos o que significa . Esse termo representa a taxa de variação do vetor que vai de A para B em relação ao tempo. Em um corpo rígido, a distância entre A e B não muda, mas a direção pode mudar conforme o corpo gira.
Para um corpo rígido, a derivada de um vetor fixo no corpo é igual ao produto vetorial da velocidade angular com o próprio vetor. Assim:
O produto vetorial de com resulta em um vetor que é perpendicular a ambos os vetores envolvidos. Portanto, é ortogonal a .

Passo 3

b) Demonstrar que a projeção das velocidades de B e A sobre a reta ProjAB(vB) = vB cdot AB são iguais.
A projeção da velocidade de um ponto sobre uma reta é calculada pelo produto escalar da velocidade com o vetor unitário na direção da reta.
Vamos considerar o vetor ProjAB(vA) = vA cdot AB e seu vetor unitário vB - vA perp AB .
As projeções das velocidades de B e A sobre (vB - vA) cdot AB = 0 são:
vB cdot AB - vA cdot AB = 0
vB cdot AB = vA cdot AB
Como o corpo é rígido, a velocidade relativa entre B e A deve ser perpendicular a ProjAB(vB) = ProjAB(vA) (como mostrado na parte a). Portanto:
Isso implica que:
Expandindo:
Portanto:
Dividindo ambos os lados por :
Ou seja, as projeções das velocidades de B e A sobre a reta AB são iguais.

Passo 4

c) Demonstrar que a diferença vB cdot AB = vA cdot AB é um vetor ortogonal a vB cdot AB - vA cdot AB = 0 .
Já vimos na parte b que:
(vB - vA) cdot AB = 0
Subtraindo de ambos os lados:
Fatorando :
Isso significa que o vetor é perpendicular a , ou seja, é ortogonal a .

Resposta

a) é ortogonal a .
b) As projeções das velocidades de B e A sobre a reta são iguais.
c) A diferença é um vetor ortogonal a .

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