A haste rígida OA gira com velocidade angular constante
, movimentando o disco de centro A que rola sem escorregar sobre o disco de centro O, que é fixo. Determine:
a) As posições dos centros instantâneos de rotação
, da barra OA , e
, do disco de centro
;
b) A velocidade
do ponto
;
c) O vetor rotação
do disco de centro
;
d) Os vetores velocidade
e aceleração
do ponto B.
a) As posições dos centros instantâneos de rotação
b) A velocidade
c) O vetor rotação
d) Os vetores velocidade
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conceitos Necessários
Estamos analisando um sistema composto por uma haste rígida OA que gira com uma velocidade angular constante
. Essa haste movimenta um disco de centro A que rola sem escorregar sobre um disco fixo de centro O. Precisamos determinar:
a) As posições dos centros instantâneos de rotação
da haste OA e
do disco de centro A;
b) A velocidade
do ponto A;
c) O vetor rotação
do disco de centro A;
d) Os vetores velocidade
e aceleração
do ponto B.
Para resolver esses itens, vamos utilizar conceitos de cinemática de corpos rígidos, como centros instantâneos de rotação, relações entre velocidade linear e angular, e as equações do movimento rotacional.
Passo 2
Item a: Posições dos Centros Instantâneos de Rotação
e
Um centro instantâneo de rotação é o ponto de um corpo que, em um dado instante, está em repouso. Para encontrar
na haste OA, observamos que a haste está girando em torno do ponto O. Portanto, o centro instantâneo de rotação
é:
Para encontrar
no disco de centro A, consideramos que o disco está rolando sem escorregar sobre o disco fixo de centro O. O ponto de contato entre os discos é momentaneamente o centro instantâneo de rotação
do disco A. Assim, a posição de
está alinhada com o ponto de contato entre os dois discos.
Passo 3
Item b: Velocidade
do Ponto A
A velocidade de um ponto em um corpo rígido em rotação pode ser encontrada usando a relação:
Onde
é o vetor velocidade angular e
é o vetor posição do ponto em relação ao centro de rotação.
No caso do ponto A, que está a uma distância
do ponto O, a velocidade é:
Como a velocidade angular
é constante e perpendicular ao plano de rotação, a velocidade
terá magnitude:
Passo 4
Item c: Vetor Rotação
do Disco de Centro A
O disco de centro A está rolando sem escorregar sobre o disco fixo de centro O. Isso implica que a velocidade no ponto de contato é zero. A relação entre as velocidades angulares dos discos está relacionada pelas diferenças de seus raios.
Se considerarmos que o raio do disco fixo é
e o raio do disco móvel (centro A) é
, então a velocidade angular do disco A,
, está relacionada à velocidade angular da haste OA,
, pela condição de não escorregamento:
Portanto, o vetor rotação
do disco de centro A é proporcional à velocidade angular
da haste OA, ajustado pela razão entre os raios dos discos.
Passo 5
Item d: Vetores Velocidade
e Aceleração
do Ponto B
Para determinar a velocidade e aceleração do ponto B no disco de centro A, usamos novamente as relações de cinemática para corpos rígidos.
A velocidade de B é dada por:
Onde
é o vetor posição de B em relação a A.
A aceleração de B é dada por:
Como a rotação é com velocidade angular constante,
, simplificando a equação para:
Essas equações nos permitem calcular as velocidades e acelerações do ponto B, considerando sua posição relativa ao centro do disco A e a rotação do sistema.
Resposta
Seguindo os passos acima, determinamos as posições dos centros instantâneos de rotação
e
, calculamos a velocidade do ponto A, o vetor rotação do disco de centro A, e os vetores velocidade e aceleração do ponto B. Assim, resolvemos o exercício proposto aplicando os conceitos de cinemática de corpos rígidos.
Exercícios relacionados
Os discos de centros A e B têm mesmo raio
e rolam sem escorregar, externa e internamente à circunferência fixa de centro O e raio
. O movimento se dá no plano do sistema móvel Oxy indicado. Dado o vetor rotação do disco de centro
, com
constante, determinar por suas componentes na base
:
a) O vetor rotação da barra AB que está articulada aos centros dos discos;
b) O vetor rotação do disco de centro B;
c) O vetor aceleração do ponto médio
do segmento AB .
a) O vetor rotação
b) O vetor rotação
c) O vetor aceleração
Considere duas situações para a velocidade de C:
Com base nos dados, pede-se:
a) Verificar se os pontos e D podem pertencer a um mesmo corpo rígido; considere as duas situações do ponto C e justifique a resposta;
b) Determinar a velocidade do ponto B para que os pontos e D pertençam ao mesmo corpo rígido;
c) Determinar o vetor rotação desse corpo rígido.
a) Verificar se os pontos
b) Determinar a velocidade do ponto B para que os pontos
c) Determinar o vetor rotação
Um caminhão de bombeiros avança com velocidade
constante. Ao mesmo tempo, sua escada gira em torno de um eixo normal ao plano da figura e que passa por O , com velocidade angular
. Um homem sobe a escada com velocidade relativa a esta
. São dados
e
, além disso, também são conhecidos
e
. Obter em função dos dados:
a) Sendo a escada o referencial móvel, obter os vetores velocidade relativa ( ), de arrastamento (
) e absoluta (
) do homem, expressos em termos de suas componentes na base
;
b) Idem, usando a base ;
c) Também para o homem, e sendo a escada ainda o referencial móvel, os vetores aceleração relativa ( ), de arrastamento (
)e absoluta (
), expressos em termos de suas componentes na base
.
a) Sendo a escada o referencial móvel, obter os vetores velocidade relativa (
b) Idem, usando a base
c) Também para o homem, e sendo a escada ainda o referencial móvel, os vetores aceleração relativa (
A e B são dois pontos genéricos de um corpo rígido em movimento qualquer. Demonstrar que:
a) é ortogonal ao vetor
;
b) A projeção das velocidades de B e A sobre a reta são iguais;
c) A diferença é um vetor ortogonal a (B
).
a)
b) A projeção das velocidades de B e A sobre a reta
c) A diferença