A haste rígida OA gira com velocidade angular constante omega, movimentando o disco de centro A que rola sem escorregar sobre o disco de centro O, que é fixo. Determine:
a) As posições dos centros instantâneos de rotação Ib, da barra OA , e Id, do disco de centro A;
b) A velocidade vA do ponto A;
c) O vetor rotação omega do disco de centro A;
d) Os vetores velocidade vB e aceleração aB do ponto B.

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conceitos Necessários
Estamos analisando um sistema composto por uma haste rígida OA que gira com uma velocidade angular constante . Essa haste movimenta um disco de centro A que rola sem escorregar sobre um disco fixo de centro O. Precisamos determinar:
a) As posições dos centros instantâneos de rotação da haste OA e do disco de centro A;
b) A velocidade do ponto A;
c) O vetor rotação do disco de centro A;
d) Os vetores velocidade e aceleração do ponto B.
Para resolver esses itens, vamos utilizar conceitos de cinemática de corpos rígidos, como centros instantâneos de rotação, relações entre velocidade linear e angular, e as equações do movimento rotacional.

Passo 2

Item a: Posições dos Centros Instantâneos de Rotação Ib = O e
Um centro instantâneo de rotação é o ponto de um corpo que, em um dado instante, está em repouso. Para encontrar na haste OA, observamos que a haste está girando em torno do ponto O. Portanto, o centro instantâneo de rotação é:
Para encontrar no disco de centro A, consideramos que o disco está rolando sem escorregar sobre o disco fixo de centro O. O ponto de contato entre os discos é momentaneamente o centro instantâneo de rotação do disco A. Assim, a posição de está alinhada com o ponto de contato entre os dois discos.

Passo 3

Item b: Velocidade v = omega times r do Ponto A
A velocidade de um ponto em um corpo rígido em rotação pode ser encontrada usando a relação:
vA = omega times R
Onde |vA| = omega R é o vetor velocidade angular e é o vetor posição do ponto em relação ao centro de rotação.
No caso do ponto A, que está a uma distância do ponto O, a velocidade é:
Como a velocidade angular é constante e perpendicular ao plano de rotação, a velocidade terá magnitude:

Passo 4

Item c: Vetor Rotação omegaA = omega ( Rr ) do Disco de Centro A
O disco de centro A está rolando sem escorregar sobre o disco fixo de centro O. Isso implica que a velocidade no ponto de contato é zero. A relação entre as velocidades angulares dos discos está relacionada pelas diferenças de seus raios.
Se considerarmos que o raio do disco fixo é e o raio do disco móvel (centro A) é , então a velocidade angular do disco A, , está relacionada à velocidade angular da haste OA, , pela condição de não escorregamento:
Portanto, o vetor rotação do disco de centro A é proporcional à velocidade angular da haste OA, ajustado pela razão entre os raios dos discos.

Passo 5

Item d: Vetores Velocidade vB = vA + omegaA times rBA e Aceleração aB = aA + alphaA times rBA + omegaA times (omegaA times rBA) do Ponto B
Para determinar a velocidade e aceleração do ponto B no disco de centro A, usamos novamente as relações de cinemática para corpos rígidos.
A velocidade de B é dada por:
aB = aA + omegaA times (omegaA times rBA)
Onde é o vetor posição de B em relação a A.
A aceleração de B é dada por:
Como a rotação é com velocidade angular constante, , simplificando a equação para:
Essas equações nos permitem calcular as velocidades e acelerações do ponto B, considerando sua posição relativa ao centro do disco A e a rotação do sistema.

Resposta

Seguindo os passos acima, determinamos as posições dos centros instantâneos de rotação e , calculamos a velocidade do ponto A, o vetor rotação do disco de centro A, e os vetores velocidade e aceleração do ponto B. Assim, resolvemos o exercício proposto aplicando os conceitos de cinemática de corpos rígidos.

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