Um caminhão de bombeiros avança com velocidade vC=u u constante. Ao mesmo tempo, sua escada gira em torno de um eixo normal ao plano da figura e que passa por O , com velocidade angular omega. Um homem sobe a escada com velocidade relativa a esta v=dots(t). São dados s(t) e theta(t), além disso, também são conhecidos u, v, a, omega e alpha. Obter em função dos dados:
a) Sendo a escada o referencial móvel, obter os vetores velocidade relativa ( v rel ), de arrastamento ( v arr ) e absoluta ( v abs ) do homem, expressos em termos de suas componentes na base (i, j, k);
b) Idem, usando a base (u, tau, k);
c) Também para o homem, e sendo a escada ainda o referencial móvel, os vetores aceleração relativa ( a rel ), de arrastamento ( a arr )e absoluta ( aabs ), expressos em termos de suas componentes na base (i, j, k).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um caminhão de bombeiros que está se movendo com velocidade constante vC = u u. A escada do caminhão está girando com velocidade angular omega em torno do ponto O, e um homem está subindo essa escada com uma velocidade relativa v = dots(t). Vamos usar conceitos de cinemática em referenciais móveis para encontrar os vetores de velocidade relativa ( vrel), de arrastamento ( varr) e absoluta ( vabs) do homem. Para isso, vamos precisar entender como funcionam os referenciais em movimento e como decompor as velocidades nas componentes da base escolhida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa velocidade relativa. A velocidade relativa ( vrel) é a velocidade do homem em relação à escada. Já a velocidade de arrastamento ( varr) é causada pelo movimento da escada em si, ou seja, pela rotação dela. A velocidade absoluta ( vabs) é a velocidade total do homem em relação a um referencial fixo, como o solo.

Passo 3

Vamos decompor essas velocidades na base (i, j, k), onde i está na direção horizontal do movimento do caminhão, j é vertical e k é perpendicular ao plano da figura.
Para a velocidade relativa, como o homem está subindo a escada, sua velocidade relativa será na direção vertical da escada. Então, podemos escrever:
vrel = dots(t) j

Passo 4

A velocidade de arrastamento está relacionada à rotação da escada. Como a escada está girando com velocidade angular omega, a velocidade de arrastamento pode ser obtida usando a relação entre velocidade linear e angular:
varr = omega times r
Onde r é o vetor posição do homem em relação ao ponto O. Se considerarmos que o homem está a uma distância s(t) da base, então:
varr = omega s(t) u times j
Simplificando, já que u times j = k:
varr = omega s(t) k

Passo 5

Agora, para encontrar a velocidade absoluta, somamos a velocidade do caminhão com as velocidades relativa e de arrastamento:
vabs = vC + vrel + varr
Substituindo:
vabs = u i + dots(t) j + omega s(t) k

Passo 6

Agora, vamos mudar a base para (u, tau, k), onde u está na direção do movimento do caminhão, tau é tangente à trajetória da escada e k permanece perpendicular ao plano da figura. Essa mudança de base facilita a análise das componentes das velocidades em relação às direções do movimento e da rotação.

Passo 7

Na nova base, a base i pode ser expressa em termos de u e tau. Supondo que u está alinhada com i, temos:
i = u
E j permanece na direção vertical, então:
j = tau

Passo 8

Reescrevendo os vetores de velocidade na nova base:
vrel = dots(t) tau
varr = omega s(t) k
vabs = u u + dots(t) tau + omega s(t) k

Passo 9

Vamos agora abordar as acelerações. Similarmente às velocidades, teremos aceleração relativa ( arel), de arrastamento ( aarr) e absoluta ( aabs). Usaremos novamente a base (i, j, k) para expressar essas componentes.

Passo 10

A aceleração relativa é a derivada da velocidade relativa em relação ao tempo. Como:
vrel = dots(t) j
Então:
arel = ddots(t) j
Explicando, essa é a aceleração do homem ao subir a escada.

Passo 11

A aceleração de arrastamento é a derivada da velocidade de arrastamento:
varr = omega s(t) k
Derivando em relação ao tempo:
aarr = omega dots(t) k
Essa aceleração é devido à rotação da escada afetando a velocidade do homem.

Passo 12

A aceleração absoluta é a soma das acelerações devido ao caminhão, relativa e de arrastamento. Como o caminhão tem aceleração a, e assumindo que está na direção i:
aabs = a i + ddots(t) j + omega dots(t) k

Resposta

As acelerações relativa, de arrastamento e absoluta do homem, na base (i, j, k), são:
arel = ddots(t) j
aarr = omega dots(t) k
aabs = a i + ddots(t) j + omega dots(t) k

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