Um caminhão de bombeiros avança com velocidade
constante. Ao mesmo tempo, sua escada gira em torno de um eixo normal ao plano da figura e que passa por O , com velocidade angular
. Um homem sobe a escada com velocidade relativa a esta
. São dados
e
, além disso, também são conhecidos
e
. Obter em função dos dados:
a) Sendo a escada o referencial móvel, obter os vetores velocidade relativa (
), de arrastamento (
) e absoluta (
) do homem, expressos em termos de suas componentes na base
;
b) Idem, usando a base
;
c) Também para o homem, e sendo a escada ainda o referencial móvel, os vetores aceleração relativa (
), de arrastamento (
)e absoluta (
), expressos em termos de suas componentes na base
.
a) Sendo a escada o referencial móvel, obter os vetores velocidade relativa (
b) Idem, usando a base
c) Também para o homem, e sendo a escada ainda o referencial móvel, os vetores aceleração relativa (
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um caminhão de bombeiros que está se movendo com velocidade constante
. A escada do caminhão está girando com velocidade angular
em torno do ponto O, e um homem está subindo essa escada com uma velocidade relativa
. Vamos usar conceitos de cinemática em referenciais móveis para encontrar os vetores de velocidade relativa (
), de arrastamento (
) e absoluta (
) do homem. Para isso, vamos precisar entender como funcionam os referenciais em movimento e como decompor as velocidades nas componentes da base escolhida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa velocidade relativa. A velocidade relativa (
) é a velocidade do homem em relação à escada. Já a velocidade de arrastamento (
) é causada pelo movimento da escada em si, ou seja, pela rotação dela. A velocidade absoluta (
) é a velocidade total do homem em relação a um referencial fixo, como o solo.
Passo 3
Vamos decompor essas velocidades na base
, onde
está na direção horizontal do movimento do caminhão,
é vertical e
é perpendicular ao plano da figura.
Para a velocidade relativa, como o homem está subindo a escada, sua velocidade relativa será na direção vertical da escada. Então, podemos escrever:
Passo 4
A velocidade de arrastamento está relacionada à rotação da escada. Como a escada está girando com velocidade angular
, a velocidade de arrastamento pode ser obtida usando a relação entre velocidade linear e angular:
Onde
é o vetor posição do homem em relação ao ponto O. Se considerarmos que o homem está a uma distância
da base, então:
Simplificando, já que
:
Passo 5
Agora, para encontrar a velocidade absoluta, somamos a velocidade do caminhão com as velocidades relativa e de arrastamento:
Substituindo:
Passo 6
Agora, vamos mudar a base para
, onde
está na direção do movimento do caminhão,
é tangente à trajetória da escada e
permanece perpendicular ao plano da figura. Essa mudança de base facilita a análise das componentes das velocidades em relação às direções do movimento e da rotação.
Passo 7
Na nova base, a base
pode ser expressa em termos de
e
. Supondo que
está alinhada com
, temos:
E
permanece na direção vertical, então:
Passo 8
Reescrevendo os vetores de velocidade na nova base:
Passo 9
Vamos agora abordar as acelerações. Similarmente às velocidades, teremos aceleração relativa (
), de arrastamento (
) e absoluta (
). Usaremos novamente a base
para expressar essas componentes.
Passo 10
A aceleração relativa é a derivada da velocidade relativa em relação ao tempo. Como:
Então:
Explicando, essa é a aceleração do homem ao subir a escada.
Passo 11
A aceleração de arrastamento é a derivada da velocidade de arrastamento:
Derivando em relação ao tempo:
Essa aceleração é devido à rotação da escada afetando a velocidade do homem.
Passo 12
A aceleração absoluta é a soma das acelerações devido ao caminhão, relativa e de arrastamento. Como o caminhão tem aceleração
, e assumindo que está na direção
:
Resposta
As acelerações relativa, de arrastamento e absoluta do homem, na base
, são:
Exercícios relacionados
A haste rígida OA gira com velocidade angular constante
, movimentando o disco de centro A que rola sem escorregar sobre o disco de centro O, que é fixo. Determine:
a) As posições dos centros instantâneos de rotação , da barra OA , e
, do disco de centro
;
b) A velocidade do ponto
;
c) O vetor rotação do disco de centro
;
d) Os vetores velocidade e aceleração
do ponto B.
a) As posições dos centros instantâneos de rotação
b) A velocidade
c) O vetor rotação
d) Os vetores velocidade
Os discos de centros A e B têm mesmo raio
e rolam sem escorregar, externa e internamente à circunferência fixa de centro O e raio
. O movimento se dá no plano do sistema móvel Oxy indicado. Dado o vetor rotação do disco de centro
, com
constante, determinar por suas componentes na base
:
a) O vetor rotação da barra AB que está articulada aos centros dos discos;
b) O vetor rotação do disco de centro B;
c) O vetor aceleração do ponto médio
do segmento AB .
a) O vetor rotação
b) O vetor rotação
c) O vetor aceleração
A e B são dois pontos genéricos de um corpo rígido em movimento qualquer. Demonstrar que:
a) é ortogonal ao vetor
;
b) A projeção das velocidades de B e A sobre a reta são iguais;
c) A diferença é um vetor ortogonal a (B
).
a)
b) A projeção das velocidades de B e A sobre a reta
c) A diferença
Deseja-se usar um fio de aço de
de comprimento e 6,4 mm de diâmetro para sustentar uma força P de tração. Sabe-se que o fio se alonga 12 mm quando é aplicada essa força. Sabendo que
, determine (a) a intensidade da força P e (b) a tensão normal correspondente no fio.