Um caminhão de bombeiros avança com velocidade constante. Ao mesmo tempo, sua escada gira em torno de um eixo normal ao plano da figura e que passa por O , com velocidade angular . Um homem sobe a escada com velocidade relativa a esta . São dados e , além disso, também são conhecidos e . Obter em função dos dados:
a) Sendo a escada o referencial móvel, obter os vetores velocidade relativa ( ), de arrastamento ( ) e absoluta ( ) do homem, expressos em termos de suas componentes na base ;
b) Idem, usando a base ;
c) Também para o homem, e sendo a escada ainda o referencial móvel, os vetores aceleração relativa ( ), de arrastamento ( )e absoluta ( ), expressos em termos de suas componentes na base .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um caminhão de bombeiros que está se movendo com velocidade constante . A escada do caminhão está girando com velocidade angular em torno do ponto O, e um homem está subindo essa escada com uma velocidade relativa . Vamos usar conceitos de cinemática em referenciais móveis para encontrar os vetores de velocidade relativa ( ), de arrastamento ( ) e absoluta ( ) do homem. Para isso, vamos precisar entender como funcionam os referenciais em movimento e como decompor as velocidades nas componentes da base escolhida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa velocidade relativa. A velocidade relativa ( ) é a velocidade do homem em relação à escada. Já a velocidade de arrastamento ( ) é causada pelo movimento da escada em si, ou seja, pela rotação dela. A velocidade absoluta ( ) é a velocidade total do homem em relação a um referencial fixo, como o solo.

Passo 3

Vamos decompor essas velocidades na base , onde está na direção horizontal do movimento do caminhão, é vertical e é perpendicular ao plano da figura.
Para a velocidade relativa, como o homem está subindo a escada, sua velocidade relativa será na direção vertical da escada. Então, podemos escrever:

Passo 4

A velocidade de arrastamento está relacionada à rotação da escada. Como a escada está girando com velocidade angular , a velocidade de arrastamento pode ser obtida usando a relação entre velocidade linear e angular:
Onde é o vetor posição do homem em relação ao ponto O. Se considerarmos que o homem está a uma distância da base, então:
Simplificando, já que :

Passo 5

Agora, para encontrar a velocidade absoluta, somamos a velocidade do caminhão com as velocidades relativa e de arrastamento:
Substituindo:

Passo 6

Agora, vamos mudar a base para , onde está na direção do movimento do caminhão, é tangente à trajetória da escada e permanece perpendicular ao plano da figura. Essa mudança de base facilita a análise das componentes das velocidades em relação às direções do movimento e da rotação.

Passo 7

Na nova base, a base pode ser expressa em termos de e . Supondo que está alinhada com , temos:
E permanece na direção vertical, então:

Passo 8

Reescrevendo os vetores de velocidade na nova base:

Passo 9

Vamos agora abordar as acelerações. Similarmente às velocidades, teremos aceleração relativa ( ), de arrastamento ( ) e absoluta ( ). Usaremos novamente a base para expressar essas componentes.

Passo 10

A aceleração relativa é a derivada da velocidade relativa em relação ao tempo. Como:
Então:
Explicando, essa é a aceleração do homem ao subir a escada.

Passo 11

A aceleração de arrastamento é a derivada da velocidade de arrastamento:
Derivando em relação ao tempo:
Essa aceleração é devido à rotação da escada afetando a velocidade do homem.

Passo 12

A aceleração absoluta é a soma das acelerações devido ao caminhão, relativa e de arrastamento. Como o caminhão tem aceleração , e assumindo que está na direção :

Resposta

As acelerações relativa, de arrastamento e absoluta do homem, na base , são:

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c) O vetor rotação do disco de centro ;
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