Se a e b são dois vetores e a neq 0, mostre que o vetor v=b-(a cdot b) a|a|^2 é perpendicular ao vetor a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores, a e b, e precisa mostrar que um novo vetor, v = b - (a cdot b) a|a|^2, é perpendicular a a. Isso tá dentro da matéria de álgebra vetorial, especificamente tratando de produto escalar e perpendicularidade entre vetores. Para resolver, vamos usar o conceito de que dois vetores são perpendiculares se e somente se o produto escalar deles for zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar (ou produto interno) de dois vetores u e v é dado por:
u cdot v = |u| |v| cos(theta)
onde theta é o ângulo entre os vetores. Se os vetores são perpendiculares, então theta = 90^circ e cos(90^circ) = 0, então u cdot v = 0.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar de v com a:
v cdot a = ( b - (a cdot b) a|a|^2 ) cdot a

Passo 4

Agora, distribuímos o produto escalar:
v cdot a = b cdot a - (a cdot b) (a cdot a)|a|^2
Sabemos que a cdot a = |a|^2, então substituímos:
v cdot a = (a cdot b) - (a cdot b) |a|^2|a|^2

Passo 5

Simplificamos a expressão:
v cdot a = (a cdot b) - (a cdot b) = 0

Resposta

Como o produto escalar v cdot a = 0, concluímos que o vetor v é perpendicular ao vetor a.

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