Determine escalares c1, c2 e c3 para expressar w=(-1,1,5) como combinação linear dos vetores v1=(1,0,1), v2=(3,2,0) e v3=(0,1,1)

Passo 1

Então, a gente tem um vetor e precisa encontrar escalares , e para escrever como uma combinação linear dos vetores , e . Vamos usar um pouco de álgebra linear pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação da combinação linear:
w = c1v1 + c2v2 + c3v3
Isso significa:
(-1, 1, 5) = c1(1, 0, 1) + c2(3, 2, 0) + c3(0, 1, 1)

Passo 3

Agora, vamos separar por componentes para criar um sistema de equações:
  1. Componente x:
-1 = c1(1) + c2(3) + c3(0) Rightarrow -1 = c1 + 3c2
  1. Componente y:
1 = c1(0) + c2(2) + c3(1) Rightarrow 1 = 2c2 + c3
  1. Componente z:
5 = c1(1) + c2(0) + c3(1) Rightarrow 5 = c1 + c3

Passo 4

Agora temos o seguinte sistema de equações:
-1 = c1 + 3c2 1 = 2c2 + c3 5 = c1 + c3
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 5

Primeiro, da terceira equação, podemos expressar c1 = 5 - c3 em termos de :

Passo 6

Agora, vamos substituir -1 = (5 - c3) + 3c2 -1 = 5 - c3 + 3c2 -6 = -c3 + 3c2 c3 = 3c2 + 6 na primeira equação:

Passo 7

Substituindo 1 = 2c2 + (3c2 + 6) 1 = 5c2 + 6 5c2 = -5 c2 = -1 na segunda equação:

Passo 8

Agora que temos c3 = 3(-1) + 6 = -3 + 6 = 3 , podemos encontrar :

Passo 9

E por fim, usando c1 = 5 - 3 = 2 :

Resposta

Os escalares são w = 2v1 - v2 + 3v3 , e . Assim, pode ser escrito como:

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