Determine as equações cartesianas das seguintes retas, com t in R :
(a) r:lx=5+t y=4+2 t
(b) r:lx=-1+2 t y=1-t
© r:lx=1-t y=3 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para transformar equações paramétricas de retas em equações cartesianas. A matéria aqui envolve Geometria Analítica, mais especificamente, como passar de uma forma paramétrica para a forma cartesiana de uma reta. Para isso, vamos precisar entender como isolar o parâmetro e eliminar ele das duas equações, conseguindo uma relação direta entre e .

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). A reta é dada pelas equações paramétricas:
x = 5 + t y = 4 + 2t
Primeiro, precisamos expressar t = x - 5 em termos de . A equação pode ser rearranjada para:

Passo 3

Agora que temos y = 4 + 2t = 4 + 2(x - 5) em termos de y = 4 + 2x - 10 = 2x - 6 , substituímos esse valor na equação de :
Vamos simplificar essa expressão:
Então, a equação cartesiana da reta é .

Passo 4

Passando para a parte (b), as equações paramétricas são:
x = -1 + 2t y = 1 - t
Primeiro, resolvemos a equação de x = -1 + 2t Rightarrow t = x + 12 para :

Passo 5

Substituímos esse valor de y = 1 - t = 1 - x + 12 = 2 - x - 12 = 1 - x2 na equação de y = -12x + 12 :
Reescrevendo, temos:
Então, a equação cartesiana da reta é .

Passo 6

Agora, vamos para a parte ©. As equações paramétricas são:
x = 1 - t y = 3t
Primeiro, isolamos x = 1 - t Rightarrow t = 1 - x na equação de :

Passo 7

Substituímos esse valor de y = 3t = 3(1 - x) = 3 - 3x na equação de :
Portanto, a equação cartesiana da reta é .

Resposta

As equações cartesianas das retas são:
a) y = 2x - 6 b) y = -12x + 12 c) y = -3x + 3

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