Questão 04: Dado o triângulo de vértices A(-3,1,4), B(-4,-1,0), C(-4,3,5). Calcule:
a) Ângulos internos do triângulo A B C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo com os vértices , e . A tarefa é calcular os ângulos internos do triângulo . Para isso, vamos usar a geometria no espaço tridimensional e a Lei dos Cossenos, que nos ajuda a encontrar os ângulos quando conhecemos os lados do triângulo.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular as comprimentos dos lados do triângulo. Para isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no espaço:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2
Vamos calcular as distâncias entre cada par de pontos:
  • Comprimento de AB:
AB = raiz(-4 - (-3))^2 + (-1 - 1)^2 + (0 - 4)^2 = raiz(-1)^2 + (-2)^2 + (-4)^2 = raiz1 + 4 + 16 = raiz21 approx 4,58
  • Comprimento de BC:
BC = raiz(-4 - (-4))^2 + (3 - (-1))^2 + (5 - 0)^2 = raiz0^2 + 4^2 + 5^2 = raiz0 + 16 + 25 = raiz41 approx 6,40
  • Comprimento de CA:
CA = raiz(-3 - (-4))^2 + (1 - 3)^2 + (4 - 5)^2 = raiz1^2 + (-2)^2 + (-1)^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6 approx 2,45

Passo 3

Agora que temos os comprimentos dos lados, vamos usar a Lei dos Cossenos para encontrar cada ângulo. A Lei dos Cossenos nos diz que:
cos(alpha) = b^2 + c^2 - a^22bc
Onde:
  • cos(A) = AB^2 + CA^2 - BC^22 times AB times CA = (4,58)^2 + (2,45)^2 - (6,40)^22 times 4,58 times 2,45 é o ângulo oposto ao lado cos(A) = 21 + 6 - 412 times 4,58 times 2,45 = -1422,42 approx -0,625 ,
  • A = arccos(-0,625) approx 128,68^circ e cos(B) = AB^2 + BC^2 - CA^22 times AB times BC = (4,58)^2 + (6,40)^2 - (2,45)^22 times 4,58 times 6,40 são os outros dois lados do triângulo.
Vamos calcular os ângulos cos(B) = 21 + 41 - 658,54 = 5658,54 approx 0,957 , B = arccos(0,957) approx 16,41^circ e cos(C) = BC^2 + CA^2 - AB^22 times BC times CA = (6,40)^2 + (2,45)^2 - (4,58)^22 times 6,40 times 2,45 .
  • Ângulo no vértice A:
cos(C) = 41 + 6 - 2131,36 = 2631,36 approx 0,829
C = arccos(0,829) approx 33,91^circ
  • Ângulo no vértice B:
  • Ângulo no vértice C:

Resposta

Os ângulos internos do triângulo são aproximadamente:

Exercícios relacionados