Se A e B são invertíveis, então são invertíveis? Justifique caso seja(m) ou de um contraexemplo quando não.
Passo 1
Então, temos um exercício sobre matrizes invertíveis. A pergunta é: se as matrizes e são invertíveis, será que , e também são invertíveis? Vamos precisar entender o que significa uma matriz ser invertível e como as operações de soma e subtração afetam essa propriedade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz invertível. Uma matriz é invertível se existe outra matriz tal que , onde é a matriz identidade. Isso significa que podemos “desfazer” a multiplicação por .
Passo 3
Vamos começar analisando a matriz . Se é invertível, ou seja, existe , então também é invertível. A inversa de é simplesmente . Isso porque:
Portanto, é invertível.
Passo 4
Agora, vamos falar sobre . Mesmo que e sejam invertíveis individualmente, não podemos garantir que seja invertível. Para ver isso, vamos considerar um exemplo específico.
Considere:
Aqui, é a matriz identidade, que certamente é invertível. Agora, somando as duas:
A matriz zero não é invertível, pois não existe uma matriz que, multiplicada por zero, resulte na identidade. Portanto, nem sempre é invertível, mesmo que e sejam.
Passo 5
Por último, vamos analisar . Assim como com , a invertibilidade de não é garantida apenas porque e são invertíveis. Vamos usar o mesmo exemplo:
Então:
Novamente, temos a matriz zero, que não é invertível. Portanto, também pode não ser invertível, mesmo que e sejam.
Resposta
Se e são invertíveis, então também é invertível. Entretanto, e nem sempre são invertíveis, como demonstrado pelos exemplos onde sua soma ou subtração resulta na matriz zero, que não é invertível.