Determine, justificando, quais das matrizes a seguir são invertíveis.
(cccc1 & 2 & -3 & 1 -1 & 3 & -3 & -2 2 & 0 & 1 & 5 3 & 1 & -2 & 5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a matriz dada é invertível. Isso entra no conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é uma matriz invertível e como verificar isso usando o determinante.

Passo 2

Primeiro, o que é uma matriz invertível? Uma matriz quadrada é invertível se existe outra matriz que, quando multiplicada por ela, resulta na matriz identidade. Mas, mais na prática, a gente verifica a invertibilidade calculando o determinante da matriz. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível; se for zero, ela não é.

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz fornecida. A matriz é 4x4, então o cálculo pode ser um pouco trabalhoso, mas a gente pode usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vou usar a expansão por cofatores aqui para facilitar a visualização:
1 & 2 & -3 & 1 -1 & 3 & -3 & -2 2 & 0 & 1 & 5 3 & 1 & -2 & 5
Vou expandir pelo primeiro elemento da primeira linha:
1 cdot 3 & -3 & -2 0 & 1 & 5 1 & -2 & 5 - 2 cdot -1 & -3 & -2 2 & 1 & 5 3 & -2 & 5 - 3 cdot -1 & 3 & -2 2 & 0 & 5 3 & 1 & 5 + 1 cdot -1 & 3 & -3 2 & 0 & 1 3 & 1 & -2
Agora, vamos calcular cada um desses determinantes menores:
  1. Primeiro determinante:
3 & -3 & -2 0 & 1 & 5 1 & -2 & 5 = 3(1 cdot 5 - 5 cdot (-2)) - (-3)(0 cdot 5 - 5 cdot 1) + (-2)(0 cdot (-2) - 1 cdot 1) = 3(5 + 10) - (-3)(0 - 5) + (-2)(0 - 1) = 45 + 15 - (-2) = 45 + 15 + 2 = 62
  1. Segundo determinante:
-1 & -3 & -2 2 & 1 & 5 3 & -2 & 5 = -1(1 cdot 5 - 5 cdot (-2)) - (-3)(2 cdot 5 - 5 cdot 3) + (-2)(2 cdot (-2) - 1 cdot 3) = -1(5 + 10) - (-3)(10 - 15) + (-2)(-4 - 3) = -15 + 15 + 14 = 14
  1. Terceiro determinante:
-1 & 3 & -2 2 & 0 & 5 3 & 1 & 5 = -1(0 cdot 5 - 5 cdot 1) - 3(2 cdot 5 - 5 cdot 3) + (-2)(2 cdot 1 - 0 cdot 3) = -1(0 - 5) - 3(10 - 15) + (-2)(2 - 0) = 5 + 15 - 4 = 16
  1. Quarto determinante:
-1 & 3 & -3 2 & 0 & 1 3 & 1 & -2 = -1(0 cdot (-2) - 1 cdot 1) - 3(2 cdot (-2) - 1 cdot 3) - 3(2 cdot 1 - 0 cdot 3) = -1(0 - 1) - 3(-4 - 3) - 3(2 - 0) = 1 + 21 - 6 = 16
Agora, substituindo de volta na expansão original:
1 cdot 62 - 2 cdot 14 - 3 cdot 16 + 1 cdot 16 = 62 - 28 - 48 + 16 = (62 - 28) + ( -48 + 16) = 34 - 32 = 2

Resposta

O determinante da matriz é diferente de zero ( det = 2), portanto, a matriz dada é invertível.

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