Encontre todos os valores de para os quais a inversa de existe.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que tá falando sobre matrizes e suas inversas. A gente precisa descobrir para quais valores de lll1 & 1 & 1 1 & 0 & 2 0 & 0 & a a matriz tem uma inversa. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre determinantes, porque isso nos ajuda a saber se uma matriz tem ou não inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma matriz quadrada tem inversa se, e somente se, o seu determinante for diferente de zero. Então, nosso objetivo aqui é calcular o determinante da matriz e ver para quais valores de ele não é zero.
Passo 3
Vamos calcular o determinante de det(A) = a cdot det(ll1 & 1 1 & 0) . Como é uma matriz 3x3, podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Mas como a matriz tem alguns zeros, fica mais fácil usar a regra de Laplace expandindo pela terceira linha. A fórmula para o determinante de será:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante da matriz 2x2 que está dentro:
det(ll1 & 1 1 & 0) = (1 times 0) - (1 times 1) = 0 - 1 = -1
Passo 5
Substituindo de volta no determinante de det(A) = a times (-1) = -a :
Passo 6
Agora, para que a matriz - a neq 0 implies a neq 0 tenha inversa, o determinante precisa ser diferente de zero:
Resposta
A inversa da matriz existe para todos os valores de diferentes de zero, ou seja, para .