Resolva a equação matricial para X. Simplifique suas respostas tanto quanto possível. Assuma que todas as matrizes envolvidas sejam invertíveis.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação matricial onde precisamos encontrar a matriz na equação . Aqui estamos trabalhando com matrizes e usando conceitos de álgebra linear, especificamente envolvendo matrizes invertíveis e propriedades de multiplicação de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar manipular a equação para isolar o .
Passo 2
Primeiro, queremos isolar o na equação. Para isso, vamos lidar com as matrizes que estão multiplicando o à esquerda e à direita, que são e , respectivamente. Como as matrizes são invertíveis, podemos usar as matrizes inversas para “desfazer” essas multiplicações.
Passo 3
Vamos começar multiplicando ambos os lados da equação à esquerda pela inversa de , que é . Isso vai cancelar a matriz que está multiplicando o :
Simplificando o lado esquerdo:
Como é a matriz identidade, não afeta :
Passo 4
Agora, queremos eliminar a matriz que está multiplicando o à direita. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pela inversa de , , à direita:
Simplificando o lado esquerdo:
Passo 5
Vamos simplificar ainda mais a expressão . Isso significa multiplicar por ela mesma:
Substituindo de volta na equação para :
Passo 6
Agora, podemos reorganizar as matrizes para simplificar a expressão. Observe que pode ser mantido junto, já que está multiplicando a próxima parte:
Isso não simplifica muito mais, mas deixa clara a relação entre as matrizes.