a) Se
e
são LD, então
é LD.
b) Se
e
são LD, então
é LD.
c) Se
e
são LI, então
é LI.
d) Se
e
são LI, então
é LI.
b) Se
c) Se
d) Se
Passo 1
Vamos dar uma olhada nas afirmações que nos foram apresentadas. Estamos lidando com conceitos de Dependência Linear (LD) e Independência Linear (LI) em álgebra linear. Vamos precisar entender o que significa um conjunto ser linearmente dependente ou independente e como operações de união (∪) e interseção (∩) afetam essas propriedades.
Passo 2
a) Se
e
são LD, então
é LD.
Para entender isso, lembre-se que um conjunto é linearmente dependente se pelo menos um de seus vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. Se
e
já são conjuntos dependentes, ao juntá-los em
, conseguimos manter pelo menos uma dependência dentro do novo conjunto. Portanto, a união de dois conjuntos dependentes continua sendo dependente.
Passo 3
b) Se
e
são LD, então
é LD.
A interseção
contém os vetores que estão tanto em
quanto em
. Sabemos que qualquer conjunto que contenha o vetor nulo é linearmente dependente, e como
e
são dependentes, é garantido que a interseção terá pelo menos o vetor nulo ou outros vetores que mantêm a dependência. Portanto,
também é linearmente dependente.
Passo 4
c) Se
e
são LI, então
é LI.
Independência Linear significa que nenhum vetor no conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros. Mesmo que
e
individualmente sejam independentes, ao unir os dois conjuntos, pode surgir uma dependência entre vetores de
e
. Por exemplo, um vetor de
pode ser uma combinação linear de vetores de
. Logo, a união nem sempre permanece independente.
Passo 5
d) Se
e
são LI, então
é LI.
Considerando que
e
são conjuntos independentes, a interseção
incluirá apenas os vetores que estão em ambos os conjuntos. Se
contiver o vetor nulo, que está em todo espaço vetorial, o conjunto será dependente, já que o vetor nulo não contribui para a independência. Portanto, a interseção pode não ser independente.
Resposta
d) A afirmação é falsa.
pode não ser LI.