a) Se A e B são LD, então A cup B é LD.
b) Se A e B são LD, então A cap B é LD.
c) Se A e B são LI, então A cup B é LI.
d) Se A e B são LI, então A cap B é LI.

Passo 1

Vamos dar uma olhada nas afirmações que nos foram apresentadas. Estamos lidando com conceitos de Dependência Linear (LD) e Independência Linear (LI) em álgebra linear. Vamos precisar entender o que significa um conjunto ser linearmente dependente ou independente e como operações de união (∪) e interseção (∩) afetam essas propriedades.

Passo 2

a) Se e são LD, então é LD.
Para entender isso, lembre-se que um conjunto é linearmente dependente se pelo menos um de seus vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. Se e já são conjuntos dependentes, ao juntá-los em , conseguimos manter pelo menos uma dependência dentro do novo conjunto. Portanto, a união de dois conjuntos dependentes continua sendo dependente.

Passo 3

b) Se e são LD, então é LD.
A interseção contém os vetores que estão tanto em quanto em . Sabemos que qualquer conjunto que contenha o vetor nulo é linearmente dependente, e como e são dependentes, é garantido que a interseção terá pelo menos o vetor nulo ou outros vetores que mantêm a dependência. Portanto, também é linearmente dependente.

Passo 4

c) Se e são LI, então é LI.
Independência Linear significa que nenhum vetor no conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros. Mesmo que e individualmente sejam independentes, ao unir os dois conjuntos, pode surgir uma dependência entre vetores de e . Por exemplo, um vetor de pode ser uma combinação linear de vetores de . Logo, a união nem sempre permanece independente.

Passo 5

d) Se e são LI, então é LI.
Considerando que e são conjuntos independentes, a interseção incluirá apenas os vetores que estão em ambos os conjuntos. Se contiver o vetor nulo, que está em todo espaço vetorial, o conjunto será dependente, já que o vetor nulo não contribui para a independência. Portanto, a interseção pode não ser independente.

Resposta

d) A afirmação é falsa. pode não ser LI.

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