[T]beta^alpha=[rr 2 & 0 4 & 0 0 & -4 ]
determine a expressão para T(a+i b).

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear. O problema nos dá uma matriz que representa uma transformação linear entre dois espaços vetoriais, denotados por e . Nosso objetivo é determinar a expressão para , onde e são escalares e é a unidade imaginária. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a transformação linear utilizando a matriz fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a matriz da transformação linear [T]beta^alpha = 2 & 0 4 & 0 0 & -4 :
Essa matriz tem 3 linhas e 2 colunas, o que significa que transforma vetores de um espaço de dimensão 2 (base ) para um espaço de dimensão 3 (base ).

Passo 3

Agora, consideramos o vetor . Aqui, e são escalares que multiplicam as componentes da base . Para aplicar a transformação , precisamos representar esse vetor como uma combinação linear das colunas da matriz .

Passo 4

Expressamos a b multiplicando a matriz T(a + i b) = [T]beta^alpha cdot a b pelo vetor :

Passo 5

Realizamos a multiplicação da matriz pela coluna:

[
2 & 0 4 & 0 0 & -4 cdot a b = 2a + 0b 4a + 0b 0a - 4b
\cdot
2a 4a -4b


]
Simplificando:

Resposta

A expressão para T(a + i b) = 2a 4a -4b é:

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