e
são matrizes equivalentes por linhas, então os sistemas lineares
e
têm o mesmo conjunto de soluções.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que se as matrizes
e
são equivalentes por linhas, então os sistemas lineares
e
têm o mesmo conjunto de soluções. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como operações elementares em linhas e equivalência de matrizes, para provar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa duas matrizes serem equivalentes por linhas. Isso quer dizer que podemos obter uma matriz a partir da outra usando uma sequência de operações elementares nas linhas, como trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um escalar diferente de zero ou adicionar múltiplos de uma linha a outra.
Passo 3
Sabemos que essas operações elementares nas linhas não mudam o conjunto de soluções do sistema linear. Ou seja, se tivermos um sistema
e aplicarmos uma operação elementar nas linhas de
para obter uma nova matriz, o sistema resultante terá exatamente as mesmas soluções que o original.
Passo 4
Como
e
são equivalentes por linhas, existe uma sequência de operações elementares que transforma
em
. Aplicando essas operações, transformamos o sistema
no sistema
sem alterar as soluções.
Passo 5
Portanto, já que cada passo da transformação mantém as soluções iguais, concluímos que os sistemas
e
têm o mesmo conjunto de soluções.
Resposta
Os sistemas lineares
e
têm o mesmo conjunto de soluções.