Se A e B são matrizes equivalentes por linhas, então os sistemas lineares A x=0 e B x=0 têm o mesmo conjunto de soluções.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que se as matrizes A e B são equivalentes por linhas, então os sistemas lineares A x = 0 e B x = 0 têm o mesmo conjunto de soluções. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como operações elementares em linhas e equivalência de matrizes, para provar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa duas matrizes serem equivalentes por linhas. Isso quer dizer que podemos obter uma matriz a partir da outra usando uma sequência de operações elementares nas linhas, como trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um escalar diferente de zero ou adicionar múltiplos de uma linha a outra.

Passo 3

Sabemos que essas operações elementares nas linhas não mudam o conjunto de soluções do sistema linear. Ou seja, se tivermos um sistema A x = 0 e aplicarmos uma operação elementar nas linhas de A para obter uma nova matriz, o sistema resultante terá exatamente as mesmas soluções que o original.

Passo 4

Como A e B são equivalentes por linhas, existe uma sequência de operações elementares que transforma A em B. Aplicando essas operações, transformamos o sistema A x = 0 no sistema B x = 0 sem alterar as soluções.

Passo 5

Portanto, já que cada passo da transformação mantém as soluções iguais, concluímos que os sistemas A x = 0 e B x = 0 têm o mesmo conjunto de soluções.

Resposta

Os sistemas lineares A x = 0 e B x = 0 têm o mesmo conjunto de soluções.

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