Considere as bases ordenadas e a base canônica de .
(b) Se , encontre .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está nos pedindo. Temos duas bases ordenadas para o espaço dos polinômios de grau até 2, . A base é formada pelos polinômios , , e . A base é a base canônica, que nesse caso é . O exercício nos dá as coordenadas de um vetor na base , que são , e nos pede para encontrar as coordenadas desse mesmo vetor na base , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar de uma base para outra utilizando a teoria de transformação de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear das bases. Na base , temos:
Aqui, , , e são os coeficientes nas coordenadas da base , que no nosso caso são , , e respectivamente.

Passo 3

Substituindo os valores dos coeficientes, temos:
Vamos distribuir os coeficientes:
Simplificando os termos:

Passo 4

Agora que temos o polinômio escrito de forma explícita, podemos encontrar suas coordenadas na base canônica . Na base canônica, as coordenadas correspondem diretamente aos coeficientes dos termos , , e .
Então, nosso polinômio tem as seguintes coordenadas na base :

Resposta

As coordenadas de na base canônica são .

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Seja . Determine se a sequência é convergente.
Se é uma matriz quadrada, e se o sistema linear tem uma única solução, então o sistema linear também tem uma única solução.
e são matrizes equivalentes por linhas, então os sistemas lineares e têm o mesmo conjunto de soluções.
As seguintes séries são geométricas. Determine se são ou não são convergentes. Se for convergente, determine o seu valor.