Considere as bases ordenadas e a base canônica de .
(b) Se , encontre vC.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado está nos pedindo. Temos duas bases ordenadas para o espaço dos polinômios de grau até 2, P2(R). A base B é formada pelos polinômios 1, 1 + t, e 1 + t^2. A base C é a base canônica, que nesse caso é 1, t, t^2. O exercício nos dá as coordenadas de um vetor v na base B, que são vB = 1 -4 6, e nos pede para encontrar as coordenadas desse mesmo vetor na base C, ou seja, vC. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar de uma base para outra utilizando a teoria de transformação de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer vetor v em P2(R) pode ser escrito como uma combinação linear das bases. Na base B, temos:
v = a cdot 1 + b cdot (1 + t) + c cdot (1 + t^2)
Aqui, a, b, e c são os coeficientes nas coordenadas da base B, que no nosso caso são 1, -4, e 6 respectivamente.
Agora que temos o polinômio v escrito de forma explícita, podemos encontrar suas coordenadas na base canônica C = 1, t, t^2. Na base canônica, as coordenadas correspondem diretamente aos coeficientes dos termos 1, t, e t^2.
Então, nosso polinômio v = 3 - 4t + 6t^2 tem as seguintes coordenadas na base C:
vC = 3 -4 6
Resposta
As coordenadas de v na base canônica C são vC = 3 -4 6 .