Considere as bases ordenadas e a base canônica de .
(b) Se , encontre .
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado está nos pedindo. Temos duas bases ordenadas para o espaço dos polinômios de grau até 2, . A base é formada pelos polinômios , , e . A base é a base canônica, que nesse caso é . O exercício nos dá as coordenadas de um vetor na base , que são , e nos pede para encontrar as coordenadas desse mesmo vetor na base , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar de uma base para outra utilizando a teoria de transformação de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear das bases. Na base , temos:
Aqui, , , e são os coeficientes nas coordenadas da base , que no nosso caso são , , e respectivamente.
Passo 3
Substituindo os valores dos coeficientes, temos:
Vamos distribuir os coeficientes:
Simplificando os termos:
Passo 4
Agora que temos o polinômio escrito de forma explícita, podemos encontrar suas coordenadas na base canônica . Na base canônica, as coordenadas correspondem diretamente aos coeficientes dos termos , , e .
Então, nosso polinômio tem as seguintes coordenadas na base :