As seguintes séries são geométricas. Determine se são ou não são convergentes. Se for convergente, determine o seu valor.
Passo 1
Beleza, vamos analisar essa série geométrica aí: . Nosso objetivo é descobrir se essa série converge e, se sim, qual é o seu valor. Para isso, vamos usar o que aprendemos sobre séries geométricas e suas condições de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão da série para deixar mais claro que ela é geométrica. Sabemos que uma série geométrica tem a forma , onde é o primeiro termo e é a razão da série.
No nosso caso, temos:
Então, a série fica:
Aqui, podemos identificar que (quando , ) e .
Passo 3
Agora, para saber se a série converge, precisamos verificar o valor de . A regra para a convergência de uma série geométrica é:
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
No nosso caso:
Portanto, a série converge.
Passo 4
Como a série converge, podemos calcular o seu valor usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
Já identificamos que e . Vamos substituir na fórmula: