As seguintes séries são geométricas. Determine se são ou não são convergentes. Se for convergente, determine o seu valor. sumn=0^infty 3^n7^n

Passo 1

Beleza, vamos analisar essa série geométrica aí: . Nosso objetivo é descobrir se essa série converge e, se sim, qual é o seu valor. Para isso, vamos usar o que aprendemos sobre séries geométricas e suas condições de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão da série para deixar mais claro que ela é geométrica. Sabemos que uma série geométrica tem a forma 3^n7^n = (37)^n , onde sumn=0^infty (37)^n é o primeiro termo e é a razão da série.
No nosso caso, temos:
Então, a série fica:
Aqui, podemos identificar que (quando , ) e .

Passo 3

Agora, para saber se a série converge, precisamos verificar o valor de r = 37 e |37| = 37 < 1 . A regra para a convergência de uma série geométrica é:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
No nosso caso:
Portanto, a série converge.

Passo 4

Como a série converge, podemos calcular o seu valor usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
S = a1 - r
Já identificamos que S = 11 - 37 = 147 = 74 e . Vamos substituir na fórmula:

Resposta

A série é convergente e seu valor é .

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