As seguintes séries são geométricas. Determine se são ou não são convergentes. Se for convergente, determine o seu valor.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma série geométrica . Nosso objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, soma até um valor finito) e, se sim, qual é esse valor. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries geométricas e como calcular a soma delas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a razão da série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral:
onde:
é o primeiro termo,
é a razão da série.
No nosso caso, a série começa em , então podemos reescrevê-la da seguinte maneira:
Aqui, a razão é .
Passo 3
Agora, vamos verificar se a série converge. Para uma série geométrica, ela converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, .
No nosso caso:
Como é menor que 1, a série converge.
Passo 4
Como a série converge, vamos calcular o valor da soma infinita. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita que começa em é:
Entretanto, nossa série começa em , então precisamos ajustar a fórmula. Podemos reescrever a série começando em subtraindo o primeiro termo: