As seguintes séries são geométricas. Determine se são ou não são convergentes. Se for convergente, determine o seu valor. sumn=1^infty 3^n7^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma série geométrica . Nosso objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, soma até um valor finito) e, se sim, qual é esse valor. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries geométricas e como calcular a soma delas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a razão da série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral:
sumn=0^infty ar^n
onde:
  • sumn=1^infty ( 37 )^n é o primeiro termo,
  • é a razão da série.
No nosso caso, a série começa em , então podemos reescrevê-la da seguinte maneira:
Aqui, a razão é .

Passo 3

Agora, vamos verificar se a série converge. Para uma série geométrica, ela converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, | 37 | = 37 approx 0,4286 < 1 .
No nosso caso:
Como é menor que 1, a série converge.

Passo 4

Como a série converge, vamos calcular o valor da soma infinita. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita que começa em S = a1 - r é:
sumn=1^infty r^n = sumn=0^infty r^n - r^0 = 11 - r - 1 = r1 - r
Entretanto, nossa série começa em S = 371 - 37 = 3747 = 34 , então precisamos ajustar a fórmula. Podemos reescrever a série começando em subtraindo o primeiro termo:
Aplicando isso ao nosso caso:

Resposta

A série converge e a soma infinita dela é .

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