As seguintes séries são geométricas. Determine se são ou não são convergentes. Se for convergente, determine o seu valor.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma série geométrica . Nosso objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, soma até um valor finito) e, se sim, qual é esse valor. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries geométricas e como calcular a soma delas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a razão da série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral:
onde:
  • é o primeiro termo,
  • é a razão da série.
No nosso caso, a série começa em , então podemos reescrevê-la da seguinte maneira:
Aqui, a razão é .

Passo 3

Agora, vamos verificar se a série converge. Para uma série geométrica, ela converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, .
No nosso caso:
Como é menor que 1, a série converge.

Passo 4

Como a série converge, vamos calcular o valor da soma infinita. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita que começa em é:
Entretanto, nossa série começa em , então precisamos ajustar a fórmula. Podemos reescrever a série começando em subtraindo o primeiro termo:
Aplicando isso ao nosso caso:

Resposta

A série converge e a soma infinita dela é .

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e são matrizes equivalentes por linhas, então os sistemas lineares e têm o mesmo conjunto de soluções.
Considere as bases ordenadas e a base canônica de .
(b) Se , encontre .
As seguintes séries são geométricas. Determine se são ou não são convergentes. Se for convergente, determine o seu valor.
Sejam e matrizes . Se ou (ou ambas) não for invertível, então tampouco será invertível.