Se A e B são matrizes genéricas, quadradas, invertíveis e de ordem n, resolva as equações matriciais.
a)AX=In
b)A (elevado a -1) X=B
c)XA + B=A

Passo 1

Vamos analisar o problema que temos aqui. Temos duas matrizes quadradas, $ A $ e $ B $, que são invertíveis e de ordem $ n $. Nosso objetivo é resolver três equações matriciais diferentes para encontrar a matriz $ X $. Para resolver essas equações, vamos precisar entender como manipular matrizes invertíveis e aplicar propriedades básicas das matrizes.

Passo 2

a) $ AX = I_n $

Primeiro, vamos resolver a equação $ AX = I_n $, onde $ I_n $ é a matriz identidade de ordem $ n $.
Passo 2.1: Sabemos que $ A $ é uma matriz invertível, o que significa que existe uma matriz $ A^{-1} $ que é a inversa de $ A $.
Passo 2.2: Para isolar $ X $, vamos multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de $ A $ à esquerda:
AX = In
Passo 2.3: Sabemos que $ A^{-1} A = I_n $, então simplificando:
AX = In
Passo 2.4: Como $ I_n $ multiplicado por qualquer matriz $ X $ resulta em $ X $, temos:
In

Passo 3

b) $ A^{-1} X = B $

Agora, vamos resolver a equação $ A^{-1} X = B $.
Passo 3.1: Queremos isolar $ X $, então vamos multiplicar ambos os lados da equação pela matriz $ A $ à esquerda:
A^-1 X = B
Passo 3.2: Sabemos que $ A A^{-1} = I_n $, então simplificando:
A^-1 X = B
Passo 3.3: Novamente, $ I_n X = X $, então:
X

Passo 4

c) $ X A + B = A $

Por fim, vamos resolver a equação $ X A + B = A $.
Passo 4.1: Primeiro, vamos isolar o termo com $ X $. Subtraia $ B $ de ambos os lados:
X A + B = A
Passo 4.2: Agora, queremos isolar $ X $. Como $ A $ é invertível, multiplicamos ambos os lados pela inversa de $ A $ à direita:
X A + B = A

Resposta

a) $ X = A^{-1} $
b) $ X = A B $
c) $ X = (A - B) A^{-1} $

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