Determine a equação das retas assíntotas da hipérbole vertical de centro em ( 2,2), excentricidade 2 e eixo imaginário valendo 6.
A = x+√3y+(2√3−2)=0;x−√3y+(2√3+2)=0
B = x−√3y+(2√3−2)=0;x+√3y+(2√3+2)=0
C = x+√(3)y+1=0;x−√(3)y+1=0
D = √3x−y+(2√3−2)=0;√3x+y+(2√3+2)=0
E = √3x−y+2√3=0;√3x+√3y+2√3=0
A = x+√3y+(2√3−2)=0;x−√3y+(2√3+2)=0
B = x−√3y+(2√3−2)=0;x+√3y+(2√3+2)=0
C = x+√(3)y+1=0;x−√(3)y+1=0
D = √3x−y+(2√3−2)=0;√3x+y+(2√3+2)=0
E = √3x−y+2√3=0;√3x+√3y+2√3=0
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as equações das retas assíntotas de uma hipérbole vertical que tem centro no ponto (2,2), excentricidade igual a 2 e o eixo imaginário medindo 6 unidades. Para isso, vamos precisar usar a fórmula da hipérbole e entender as relações entre excentricidade, eixos e assíntotas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a equação geral de uma hipérbole vertical:
Aqui, (h, k) é o centro da hipérbole. No nosso caso, o centro é (2,2), então h = 2 e k = 2.
Passo 3
A excentricidade (e) de uma hipérbole está relacionada com a distância focal © e o semieixo maior (a) pela fórmula:
Sabemos que e = 2, então:
Também sabemos que o eixo imaginário tem comprimento 6, o que significa que:
Passo 4
A relação entre a, b e c em uma hipérbole é dada por:
Substituindo c = 2a e b = 3:
Passo 5
Agora que temos a = √3, podemos encontrar c:
Com esses valores, a equação da hipérbole fica:
Passo 6
As equações das assíntotas de uma hipérbole vertical são dadas por:
Substituindo os valores que temos (k = 2, a = √3, b = 3, h = 2):
Passo 7
Vamos simplificar essas equações para ficar mais fácil de comparar com as alternativas:
Primeira assíntota:
Segunda assíntota:
Multiplicando tudo por 3 para eliminar os denominadores:
Primeira assíntota:
Segunda assíntota:
Resposta
Analisando as opções, a que corresponde às equações das assíntotas encontradas é a alternativa D: