Determine a equação das retas assíntotas da hipérbole vertical de centro em ( 2,2), excentricidade 2 e eixo imaginário valendo 6.
A = x+√3y+(2√3−2)=0;x−√3y+(2√3+2)=0
B = x−√3y+(2√3−2)=0;x+√3y+(2√3+2)=0
C = x+√(3)y+1=0;x−√(3)y+1=0
D = √3x−y+(2√3−2)=0;√3x+y+(2√3+2)=0
E = √3x−y+2√3=0;√3x+√3y+2√3=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as equações das retas assíntotas de uma hipérbole vertical que tem centro no ponto (2,2), excentricidade igual a 2 e o eixo imaginário medindo 6 unidades. Para isso, vamos precisar usar a fórmula da hipérbole e entender as relações entre excentricidade, eixos e assíntotas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação geral de uma hipérbole vertical:
(y - k)^2a^2 - (x - h)^2b^2 = 1
Aqui, (h, k) é o centro da hipérbole. No nosso caso, o centro é (2,2), então h = 2 e k = 2.

Passo 3

A excentricidade (e) de uma hipérbole está relacionada com a distância focal © e o semieixo maior (a) pela fórmula:
e = ca
Sabemos que e = 2, então:
2 = ca Rightarrow c = 2a
Também sabemos que o eixo imaginário tem comprimento 6, o que significa que:
2b = 6 Rightarrow b = 3

Passo 4

A relação entre a, b e c em uma hipérbole é dada por:
c^2 = a^2 + b^2
Substituindo c = 2a e b = 3:
(2a)^2 = a^2 + 3^2 Rightarrow 4a^2 = a^2 + 9 Rightarrow 3a^2 = 9 Rightarrow a^2 = 3 Rightarrow a = raiz3

Passo 5

Agora que temos a = √3, podemos encontrar c:
c = 2a = 2raiz3
Com esses valores, a equação da hipérbole fica:
(y - 2)^23 - (x - 2)^29 = 1

Passo 6

As equações das assíntotas de uma hipérbole vertical são dadas por:
y = k pm ab(x - h)
Substituindo os valores que temos (k = 2, a = √3, b = 3, h = 2):
y = 2 pm raiz33(x - 2)

Passo 7

Vamos simplificar essas equações para ficar mais fácil de comparar com as alternativas:
Primeira assíntota:
y = 2 + raiz33(x - 2) Rightarrow y = raiz33x + 2 - 2raiz33
Segunda assíntota:
y = 2 - raiz33(x - 2) Rightarrow y = -raiz33x + 2 + 2raiz33
Multiplicando tudo por 3 para eliminar os denominadores:
Primeira assíntota:
3y = raiz3x + 6 - 2raiz3 Rightarrow raiz3x - 3y + 2raiz3 - 6 = 0
Segunda assíntota:
3y = -raiz3x + 6 + 2raiz3 Rightarrow raiz3x + 3y - 2raiz3 - 6 = 0

Resposta

Analisando as opções, a que corresponde às equações das assíntotas encontradas é a alternativa D:
raiz3x - y + (2raiz3 - 2) = 0 e raiz3x + y + (2raiz3 + 2) = 0

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