Se
e
são matrizes
tais que
é simétrica, então
e
são simétricas.
Passo 1
Então, temos um exercício que fala sobre matrizes simétricas. O enunciado diz que se duas matrizes quadradas
e
de tamanho
somadas resultam em uma matriz simétrica (
é simétrica), então
e
também seriam simétricas individualmente. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma matriz simétrica e como as propriedades das matrizes funcionam quando somamos duas delas.
Passo 2
Primeiro, o que é uma matriz simétrica? Uma matriz
é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja,
. A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas. Então, para cada elemento
na posição
, ele deve ser igual ao elemento
na posição
.
Passo 3
Agora, sabemos que
é simétrica. Então, aplicando a definição de matriz simétrica:
Passo 4
Vamos usar a propriedade da transposta que diz que a transposta da soma é igual à soma das transpostas:
Passo 5
Subtraindo
de ambos os lados da equação, temos:
Passo 6
Para que a soma de
e
seja zero, cada uma dessas matrizes deve ser a matriz nula (pois estamos trabalhando no conjunto de matrizes). Então:
Passo 7
Isso implica que:
Portanto,
e
são simétricas.
Resposta
Concluímos que se
é simétrica, então tanto
quanto
são matrizes simétricas.
Exercícios relacionados
Todas as entradas de uma matriz triangular superior são determinadas pelas entradas que ocorrem na diagonal principal e acima dela.
Para
e
, sejam
as funções definidas por
soma dos elementos da i-ésima linha de
e
soma dos elementos da j-ésima coluna de a. Prove que
são L.D. no espaço vetorial
mas o conjunto
é L.I. .
A soma de uma matriz triangular superior e uma triangular inferior é uma matriz diagonal.
A soma de uma matriz diagonal e uma matriz triangular inferior é uma matriz triangular inferior.