Se A e B são matrizes n times n tais que A+B é simétrica, então A e B são simétricas.

Passo 1

Então, temos um exercício que fala sobre matrizes simétricas. O enunciado diz que se duas matrizes quadradas e de tamanho somadas resultam em uma matriz simétrica ( é simétrica), então e também seriam simétricas individualmente. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma matriz simétrica e como as propriedades das matrizes funcionam quando somamos duas delas.

Passo 2

Primeiro, o que é uma matriz simétrica? Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, . A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas. Então, para cada elemento na posição , ele deve ser igual ao elemento na posição .

Passo 3

Agora, sabemos que (A + B) = (A + B)^T é simétrica. Então, aplicando a definição de matriz simétrica:

Passo 4

Vamos usar a propriedade da transposta que diz que a transposta da soma é igual à soma das transpostas:
A + B = A^T + B^T

Passo 5

Subtraindo 0 = A^T + B^T - A - B de ambos os lados da equação, temos:
0 = (A^T - A) + (B^T - B)

Passo 6

Para que a soma de A^T - A = 0 e B^T - B = 0 e seja zero, cada uma dessas matrizes deve ser a matriz nula (pois estamos trabalhando no conjunto de matrizes). Então:

Passo 7

Isso implica que:
A^T = A e B^T = B
Portanto, e são simétricas.

Resposta

Concluímos que se é simétrica, então tanto quanto são matrizes simétricas.

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