A soma de uma matriz diagonal e uma matriz triangular inferior é uma matriz triangular inferior.

Passo 1

Então, temos uma afirmação que diz que a soma de uma matriz diagonal e uma matriz triangular inferior resulta em uma matriz triangular inferior. Vamos resolver isso entendendo o que são essas matrizes e como somá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz diagonal. É uma matriz onde todos os elementos fora da diagonal principal (de cima à esquerda para baixo à direita) são zero. Ou seja, se a matriz for , então para todo .

Passo 3

Agora, uma matriz triangular inferior é uma matriz onde todos os elementos acima da diagonal principal são zero. Se a matriz for , então para todo .

Passo 4

Vamos somar essas duas matrizes. Se aij = dij + lij é diagonal e é triangular inferior, a soma terá elementos:

Passo 5

Como é diagonal, quando . Então, para :
  • Se : (já que )
  • Se : (pode ser qualquer valor, pois ambos são possivelmente não-zero)

Passo 6

Observamos que na soma , todos os elementos acima da diagonal (onde ) são zero, exatamente como uma matriz triangular inferior. Portanto, é uma matriz triangular inferior.

Resposta

A soma de uma matriz diagonal e uma matriz triangular inferior resulta em uma matriz triangular inferior.

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