A soma de uma matriz diagonal e uma matriz triangular inferior é uma matriz triangular inferior.
Passo 1
Então, temos uma afirmação que diz que a soma de uma matriz diagonal e uma matriz triangular inferior resulta em uma matriz triangular inferior. Vamos resolver isso entendendo o que são essas matrizes e como somá-las.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz diagonal. É uma matriz onde todos os elementos fora da diagonal principal (de cima à esquerda para baixo à direita) são zero. Ou seja, se a matriz for
, então
para todo
.
Passo 3
Agora, uma matriz triangular inferior é uma matriz onde todos os elementos acima da diagonal principal são zero. Se a matriz for
, então
para todo
.
Passo 4
Vamos somar essas duas matrizes. Se
é diagonal e
é triangular inferior, a soma
terá elementos:
Passo 5
Como
é diagonal,
quando
. Então, para
:
- Se
: (já que ) - Se
: (pode ser qualquer valor, pois ambos são possivelmente não-zero)
Passo 6
Observamos que na soma
, todos os elementos acima da diagonal (onde
) são zero, exatamente como uma matriz triangular inferior. Portanto,
é uma matriz triangular inferior.
Resposta
A soma de uma matriz diagonal e uma matriz triangular inferior resulta em uma matriz triangular inferior.