A soma de uma matriz triangular superior e uma triangular inferior é uma matriz diagonal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão diz que a soma de uma matriz triangular superior e uma triangular inferior resulta numa matriz diagonal. Aqui, estamos falando de matrizes triangulares - a superior tem zeros abaixo da diagonal e a inferior tem zeros acima. Para resolver isso, vamos precisar entender como se somam essas matrizes e ver se os elementos fora da diagonal realmente cancelam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz triangular superior e uma inferior. Uma matriz triangular superior tem todos os elementos abaixo da diagonal principal iguais a zero. Por exemplo:
Já uma matriz triangular inferior tem todos os elementos acima da diagonal principal iguais a zero:

Passo 3

Agora, vamos somar essas duas matrizes. Somar matrizes significa somar elemento a elemento. Vamos fazer isso com os exemplos acima:

Passo 4

Observando a matriz resultante, a gente vê que os elementos fora da diagonal principal (como b, c, h, j, k, e) não são necessariamente zero. Pra que a soma seja realmente uma matriz diagonal, todos esses elementos teriam que ser zero. Ou seja, temos que:

Passo 5

Mas isso só acontece se cada uma das matrizes originais já tiver esses elementos como zero. Ou seja, se a matriz triangular superior tiver todos os elementos acima da diagonal iguais a zero, e a triangular inferior tiver todos os elementos abaixo da diagonal iguais a zero, o que tornaria cada matriz, na verdade, uma matriz diagonal já.

Passo 6

Portanto, a soma de uma matriz triangular superior e uma triangular inferior só será uma matriz diagonal se ambas já forem matrizes diagonais individuais. Em geral, sem essa condição, a soma não resulta necessariamente numa matriz diagonal.

Resposta

Não, a soma de uma matriz triangular superior e uma triangular inferior não é, em geral, uma matriz diagonal, a menos que ambas já sejam matrizes diagonais.

Exercícios relacionados

Se e são matrizes tais que é simétrica, então e são simétricas.
Todas as entradas de uma matriz triangular superior são determinadas pelas entradas que ocorrem na diagonal principal e acima dela.
A soma de uma matriz diagonal e uma matriz triangular inferior é uma matriz triangular inferior.
Achar as coordenadas do vector normal do plano dado por: .