A soma de uma matriz triangular superior e uma triangular inferior é uma matriz diagonal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão diz que a soma de uma matriz triangular superior e uma triangular inferior resulta numa matriz diagonal. Aqui, estamos falando de matrizes triangulares - a superior tem zeros abaixo da diagonal e a inferior tem zeros acima. Para resolver isso, vamos precisar entender como se somam essas matrizes e ver se os elementos fora da diagonal realmente cancelam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz triangular superior e uma inferior. Uma matriz triangular superior tem todos os elementos abaixo da diagonal principal iguais a zero. Por exemplo:
Já uma matriz triangular inferior tem todos os elementos acima da diagonal principal iguais a zero:
Passo 3
Agora, vamos somar essas duas matrizes. Somar matrizes significa somar elemento a elemento. Vamos fazer isso com os exemplos acima:
Passo 4
Observando a matriz resultante, a gente vê que os elementos fora da diagonal principal (como b, c, h, j, k, e) não são necessariamente zero. Pra que a soma seja realmente uma matriz diagonal, todos esses elementos teriam que ser zero. Ou seja, temos que:
Passo 5
Mas isso só acontece se cada uma das matrizes originais já tiver esses elementos como zero. Ou seja, se a matriz triangular superior tiver todos os elementos acima da diagonal iguais a zero, e a triangular inferior tiver todos os elementos abaixo da diagonal iguais a zero, o que tornaria cada matriz, na verdade, uma matriz diagonal já.
Passo 6
Portanto, a soma de uma matriz triangular superior e uma triangular inferior só será uma matriz diagonal se ambas já forem matrizes diagonais individuais. Em geral, sem essa condição, a soma não resulta necessariamente numa matriz diagonal.
Resposta
Não, a soma de uma matriz triangular superior e uma triangular inferior não é, em geral, uma matriz diagonal, a menos que ambas já sejam matrizes diagonais.