Se A e B são matrizes n times n tais que A+B é triangular superior, então A e B são triangulares superiores.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre matrizes! O enunciado diz que se e são matrizes e a soma é uma matriz triangular superior, então e também são triangulares superiores. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre matrizes triangulares e propriedades das somas de matrizes. Precisaremos entender o que significa uma matriz ser triangular superior e como as entradas das matrizes se comportam nessa estrutura.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz triangular superior. Uma matriz de ordem é dita triangular superior se todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Ou seja, para todo , temos . A diagonal principal é onde .

Passo 3

Sabemos que (A + B)ij = Aij + Bij = 0 é triangular superior. Então, para cada elemento abaixo da diagonal principal ( ), temos:

Passo 4

Isso nos dá a equação:
Aij + Bij = 0 para todo i > j
Ou seja,
Aij = -Bij para todo i > j

Passo 5

Agora, vamos considerar Aij + (-Aij) = 0 e individualmente. Se é triangular superior, e sabemos que para , substituindo na soma:
Isso significa que tanto quanto devem ser zero para , já que a única maneira de ocorrer é se .

Passo 6

Portanto, para todos os Aij = 0 e Bij = 0 :
Isso mostra que tanto quanto têm zeros abaixo da diagonal principal, ou seja, são matrizes triangulares superiores.

Resposta

Assim, concluímos que se é uma matriz triangular superior, então as matrizes e também são triangulares superiores.

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