Se
e
são matrizes
tais que
é triangular superior, então
e
são triangulares superiores.
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre matrizes! O enunciado diz que se
e
são matrizes
e a soma
é uma matriz triangular superior, então
e
também são triangulares superiores. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre matrizes triangulares e propriedades das somas de matrizes. Precisaremos entender o que significa uma matriz ser triangular superior e como as entradas das matrizes se comportam nessa estrutura.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz triangular superior. Uma matriz
de ordem
é dita triangular superior se todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Ou seja, para todo
, temos
. A diagonal principal é onde
.
Passo 3
Sabemos que
é triangular superior. Então, para cada elemento
abaixo da diagonal principal (
), temos:
Passo 4
Isso nos dá a equação:
Ou seja,
Passo 5
Agora, vamos considerar
e
individualmente. Se
é triangular superior, e sabemos que
para
, substituindo na soma:
Isso significa que tanto
quanto
devem ser zero para
, já que a única maneira de
ocorrer é se
.
Passo 6
Portanto, para todos os
:
Isso mostra que tanto
quanto
têm zeros abaixo da diagonal principal, ou seja, são matrizes triangulares superiores.
Resposta
Assim, concluímos que se
é uma matriz triangular superior, então as matrizes
e
também são triangulares superiores.
Exercícios relacionados
A inversa de uma matriz triangular inferior invertível é uma matriz triangular superior.
Dado o conjunto finito
, obtenha uma base para o espaço vetorial
.
Seja
o conjunto das matrizes simétricas
. Para cada par
de números naturais de 1 até
, com
, seja
a matriz
cujos elementos nas posições ij e ji são iguais a 1 e os demais são zero. Prove que estas matrizes constituem uma base para o subespaço vetorial
. De modo análogo, obtenha uma base do subespaço
das matrizes anti-simétricas
. Conclua que
e
.
Uma matriz diagonal é invertível se, e só se, todas as entradas diagonais são positivas.