Se e são matrizes tais que é triangular superior, então e são triangulares superiores.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre matrizes! O enunciado diz que se e são matrizes e a soma é uma matriz triangular superior, então e também são triangulares superiores. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre matrizes triangulares e propriedades das somas de matrizes. Precisaremos entender o que significa uma matriz ser triangular superior e como as entradas das matrizes se comportam nessa estrutura.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz triangular superior. Uma matriz de ordem é dita triangular superior se todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Ou seja, para todo , temos . A diagonal principal é onde .

Passo 3

Sabemos que é triangular superior. Então, para cada elemento abaixo da diagonal principal ( ), temos:

Passo 4

Isso nos dá a equação:
Ou seja,

Passo 5

Agora, vamos considerar e individualmente. Se é triangular superior, e sabemos que para , substituindo na soma:
Isso significa que tanto quanto devem ser zero para , já que a única maneira de ocorrer é se .

Passo 6

Portanto, para todos os :
Isso mostra que tanto quanto têm zeros abaixo da diagonal principal, ou seja, são matrizes triangulares superiores.

Resposta

Assim, concluímos que se é uma matriz triangular superior, então as matrizes e também são triangulares superiores.

Exercícios relacionados

A inversa de uma matriz triangular inferior invertível é uma matriz triangular superior.
Dado o conjunto finito , obtenha uma base para o espaço vetorial .
Seja o conjunto das matrizes simétricas . Para cada par de números naturais de 1 até , com , seja a matriz cujos elementos nas posições ij e ji são iguais a 1 e os demais são zero. Prove que estas matrizes constituem uma base para o subespaço vetorial . De modo análogo, obtenha uma base do subespaço das matrizes anti-simétricas . Conclua que e .
Uma matriz diagonal é invertível se, e só se, todas as entradas diagonais são positivas.