Seja
o conjunto das matrizes simétricas
. Para cada par
de números naturais de 1 até
, com
, seja
a matriz
cujos elementos nas posições ij e ji são iguais a 1 e os demais são zero. Prove que estas matrizes constituem uma base para o subespaço vetorial
. De modo análogo, obtenha uma base do subespaço
das matrizes anti-simétricas
. Conclua que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que certas matrizes formam uma base para o conjunto de matrizes simétricas
e anti-simétricas
de tamanho
. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre espaços vetoriais e bases. Para resolver, vamos precisar entender o que são matrizes simétricas e anti-simétricas, além de saber o que é uma base de um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são matrizes simétricas. Uma matriz
é simétrica se ela é igual à sua transposta, ou seja,
. Isso significa que os elementos estão espelhados em relação à diagonal principal.
Passo 3
Agora, vamos ver o que são matrizes anti-simétricas. Uma matriz
é anti-simétrica se
. Ou seja, os elementos são negativos uns dos outros em relação à diagonal principal, e os elementos na diagonal devem ser zero, já que
implica
.
Passo 4
Vamos construir as matrizes
para
. Para cada par
com
, a matriz
tem 1 nas posições
e
, e zeros no resto. Essas matrizes representam os “elementos básicos” que vamos usar para formar qualquer matriz simétrica.
Passo 5
Para provar que as
formam uma base para
, precisamos mostrar duas coisas: que elas são linearmente independentes e que geram todo o espaço
.
Passo 6
Primeiro, vamos verificar a linearidade independente. Suponha que uma combinação linear dessas matrizes resulte na matriz zero. Isso só é possível se todos os coeficientes da combinação forem zero, o que confirma a independência linear.
Passo 7
Em seguida, vamos mostrar que qualquer matriz simétrica pode ser escrita como uma combinação linear das
. De fato, qualquer matriz simétrica tem elementos iguais em
e
, e podemos ajustar os coeficientes nas
para corresponder a esses elementos.
Passo 8
Então, concluímos que as
formam uma base para
. Agora, para encontrar uma base para
, seguimos um raciocínio similar, mas considerando as matrizes anti-simétricas.
Passo 9
No caso das matrizes anti-simétricas, definimos
com 1 em
e -1 em
, e zeros no restante. Essas matrizes também são linearmente independentes e geram todo o espaço
das matrizes anti-simétricas.
Passo 10
Finalmente, para encontrar as dimensões desses espaços, contamos o número de matrizes na base. Para
, temos
pares
com
, então
. Para
, temos
pares
com
, então
.
Resposta
As matrizes
constituem uma base para
e
para
. Assim,
e
.
Exercícios relacionados
Se
e
são matrizes
tais que
é triangular superior, então
e
são triangulares superiores.
A inversa de uma matriz triangular inferior invertível é uma matriz triangular superior.
Uma matriz diagonal é invertível se, e só se, todas as entradas diagonais são positivas.
Num espaço vetorial
, diz-se que o vetor
é uma combinação afim dos vetores
quando se tem
, com
. Diz-se que os vetores
são afimindependentes quando nenhum deles é uma combinação afim dos demais. Prove que as seguintes afirmações são equivalentes:
(1) Os vetores são afim-independentes.
(2) Se e
então
.
(3) então
. (Em particular, duas combinações afins dos
só podem ser iguais quando tiverem os mesmos coeficientes.)
(4) Os vetores são L.I. .
(5) A variedade afim gerada por tem dimensão
.
(1) Os vetores
(2) Se
(3)
(4) Os vetores
(5) A variedade afim gerada por