Seja o conjunto das matrizes simétricas . Para cada par de números naturais de 1 até , com , seja a matriz cujos elementos nas posições ij e ji são iguais a 1 e os demais são zero. Prove que estas matrizes constituem uma base para o subespaço vetorial . De modo análogo, obtenha uma base do subespaço das matrizes anti-simétricas . Conclua que e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que certas matrizes formam uma base para o conjunto de matrizes simétricas e anti-simétricas de tamanho . Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre espaços vetoriais e bases. Para resolver, vamos precisar entender o que são matrizes simétricas e anti-simétricas, além de saber o que é uma base de um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são matrizes simétricas. Uma matriz é simétrica se ela é igual à sua transposta, ou seja, . Isso significa que os elementos estão espelhados em relação à diagonal principal.

Passo 3

Agora, vamos ver o que são matrizes anti-simétricas. Uma matriz é anti-simétrica se . Ou seja, os elementos são negativos uns dos outros em relação à diagonal principal, e os elementos na diagonal devem ser zero, já que implica .

Passo 4

Vamos construir as matrizes para . Para cada par com , a matriz tem 1 nas posições e , e zeros no resto. Essas matrizes representam os “elementos básicos” que vamos usar para formar qualquer matriz simétrica.

Passo 5

Para provar que as formam uma base para , precisamos mostrar duas coisas: que elas são linearmente independentes e que geram todo o espaço .

Passo 6

Primeiro, vamos verificar a linearidade independente. Suponha que uma combinação linear dessas matrizes resulte na matriz zero. Isso só é possível se todos os coeficientes da combinação forem zero, o que confirma a independência linear.

Passo 7

Em seguida, vamos mostrar que qualquer matriz simétrica pode ser escrita como uma combinação linear das . De fato, qualquer matriz simétrica tem elementos iguais em e , e podemos ajustar os coeficientes nas para corresponder a esses elementos.

Passo 8

Então, concluímos que as formam uma base para . Agora, para encontrar uma base para , seguimos um raciocínio similar, mas considerando as matrizes anti-simétricas.

Passo 9

No caso das matrizes anti-simétricas, definimos com 1 em e -1 em , e zeros no restante. Essas matrizes também são linearmente independentes e geram todo o espaço das matrizes anti-simétricas.

Passo 10

Finalmente, para encontrar as dimensões desses espaços, contamos o número de matrizes na base. Para , temos pares com , então . Para , temos pares com , então .

Resposta

As matrizes constituem uma base para e para . Assim, e .

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(1) Os vetores são afim-independentes.
(2) Se e então .
(3) então . (Em particular, duas combinações afins dos só podem ser iguais quando tiverem os mesmos coeficientes.)
(4) Os vetores são L.I. .
(5) A variedade afim gerada por tem dimensão .