A inversa de uma matriz triangular inferior invertível é uma matriz triangular superior.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado que temos é: “A inversa de uma matriz triangular inferior invertível é uma matriz triangular superior.” Estamos falando sobre matrizes triangulares, que são aquelas onde todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são zero. No caso, estamos lidando com matrizes triangulares inferiores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma matriz inversa e como ela se relaciona com matrizes triangulares.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz inversa. Para uma matriz , sua inversa é a matriz que, quando multiplicada por , resulta na matriz identidade . Ou seja:
Isso significa que “desfaz” a ação de .
Passo 3
Agora, vamos focar nas matrizes triangulares inferiores. Uma matriz triangular inferior tem todos os elementos acima da diagonal principal iguais a zero. Por exemplo, uma matriz triangular inferior se parece com isso:
Passo 4
Sabemos que uma matriz triangular inversível deve ter todos os seus elementos da diagonal principal diferentes de zero. Ou seja, . Isso garante que a matriz tenha uma inversa.
Passo 5
Vamos entender como é a inversa de uma matriz triangular inferior. Quando você calcula a inversa de uma matriz triangular inferior, o resultado também será uma matriz triangular inferior. Isso porque as operações necessárias para encontrar a inversa mantêm a estrutura triangular inferior.
Por exemplo, a inversa de seria:
Passo 6
Portanto, a afirmação do enunciado diz que a inversa de uma matriz triangular inferior é uma matriz triangular superior, mas na verdade, como vimos, a inversa também é triangular inferior.
Resposta
A afirmação está incorreta. A inversa de uma matriz triangular inferior invertível é também uma matriz triangular inferior.