Uma matriz diagonal é invertível se, e só se, todas as entradas diagonais são positivas.
Passo 1
Então, a questão que a gente tem aqui fala sobre matrizes diagonais e invertibilidade. Basicamente, quer saber se uma matriz diagonal só é invertível quando todas as suas entradas na diagonal principal são positivas. Vamos precisar entender o que é uma matriz diagonal, o que significa uma matriz ser invertível e como essas duas coisas estão relacionadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz diagonal. É uma matriz quadrada onde todos os elementos fora da diagonal principal são zero. Por exemplo:
Aqui, apenas os elementos , e estão na diagonal principal, e os outros são zero.
Passo 3
Agora, sobre matriz invertível. Uma matriz é invertível se existe outra matriz que, quando multiplicada por ela, resulta na matriz identidade. A matriz identidade é uma matriz diagonal com 1’s na diagonal principal e 0’s fora dela:
1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Passo 4
Para uma matriz diagonal ser invertível, precisamos que suas entradas na diagonal principal não sejam zero. Porque se alguma delas fosse zero, a matriz não teria um inverso (não dá para “dividir” por zero). Então, em termos matemáticos, uma matriz diagonal é invertível se todos os .
Passo 5
Agora, a questão menciona que as entradas diagonais devem ser positivas para a matriz ser invertível. Mas, na verdade, o que precisamos é que elas sejam diferentes de zero, não necessariamente positivas. Elas podem ser negativas também e a matriz ainda será invertível.
Passo 6
Então, se as entradas diagonais são positivas, a matriz certamente é invertível, mas também seria invertível se elas fossem negativas, desde que não sejam zero.
Resposta
A afirmação está parcialmente correta. Uma matriz diagonal é invertível se, e somente se, todas as suas entradas diagonais são diferentes de zero. Elas não precisam ser necessariamente positivas; podem ser qualquer número não nulo.