Dado o conjunto finito
, obtenha uma base para o espaço vetorial
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos uma base para o espaço vetorial
, onde
é um conjunto finito. Isso está relacionado ao tema de espaços vetoriais e bases. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma base e como construir funções que formam essa base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é o conjunto de todas as funções que mapeiam os elementos de
para os números reais
. Como
tem
elementos, esse espaço vetorial tem dimensão
.
Passo 3
Uma base para esse espaço vetorial será um conjunto de funções que são linearmente independentes e que geram todo o espaço
. Para isso, podemos construir as chamadas funções básicas.
Passo 4
Vamos definir, para cada elemento
de
, uma função
em
da seguinte forma:
Ou seja,
é a função que vale 1 em
e zero nos outros elementos de
.
Passo 5
Agora, vamos ver se essas funções formam uma base. Primeiro, elas são linearmente independentes porque nenhuma combinação linear delas pode dar a função zero a menos que todos os coeficientes sejam zero. Segundo, qualquer função em
pode ser escrita como uma combinação linear dessas funções básicas.
Resposta
Portanto, uma base para o espaço vetorial
é o conjunto das funções
, onde cada
é definido por:
Exercícios relacionados
Em cada parte, expresse a equação matricial como um sistema de equações lineares.
Uma matriz simétrica e triangular superior é diagonal.
A inversa de uma matriz triangular inferior invertível é uma matriz triangular superior.
Se
e
são matrizes
tais que
é triangular superior, então
e
são triangulares superiores.