Dado o conjunto finito X=a1, ldots, an, obtenha uma base para o espaço vetorial F(X ; R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos uma base para o espaço vetorial F(X ; R), onde X = a1, ldots, an é um conjunto finito. Isso está relacionado ao tema de espaços vetoriais e bases. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma base e como construir funções que formam essa base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que F(X ; R) é o conjunto de todas as funções que mapeiam os elementos de X para os números reais R. Como X tem n elementos, esse espaço vetorial tem dimensão n.

Passo 3

Uma base para esse espaço vetorial será um conjunto de funções que são linearmente independentes e que geram todo o espaço F(X ; R). Para isso, podemos construir as chamadas funções básicas.

Passo 4

Vamos definir, para cada elemento ai de X, uma função fi em F(X ; R) da seguinte forma:
fi(aj) = 1 & se i = j, 0 & se i neq j
Ou seja, fi é a função que vale 1 em ai e zero nos outros elementos de X.

Passo 5

Agora, vamos ver se essas funções formam uma base. Primeiro, elas são linearmente independentes porque nenhuma combinação linear delas pode dar a função zero a menos que todos os coeficientes sejam zero. Segundo, qualquer função em F(X ; R) pode ser escrita como uma combinação linear dessas funções básicas.

Resposta

Portanto, uma base para o espaço vetorial F(X ; R) é o conjunto das funções f1, f2, ldots, fn, onde cada fi é definido por:
fi(aj) = 1 & se i = j, 0 & se i neq j

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