Dado o conjunto finito , obtenha uma base para o espaço vetorial .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos uma base para o espaço vetorial , onde é um conjunto finito. Isso está relacionado ao tema de espaços vetoriais e bases. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma base e como construir funções que formam essa base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é o conjunto de todas as funções que mapeiam os elementos de para os números reais . Como tem elementos, esse espaço vetorial tem dimensão .

Passo 3

Uma base para esse espaço vetorial será um conjunto de funções que são linearmente independentes e que geram todo o espaço . Para isso, podemos construir as chamadas funções básicas.

Passo 4

Vamos definir, para cada elemento de , uma função em da seguinte forma:
Ou seja, é a função que vale 1 em e zero nos outros elementos de .

Passo 5

Agora, vamos ver se essas funções formam uma base. Primeiro, elas são linearmente independentes porque nenhuma combinação linear delas pode dar a função zero a menos que todos os coeficientes sejam zero. Segundo, qualquer função em pode ser escrita como uma combinação linear dessas funções básicas.

Resposta

Portanto, uma base para o espaço vetorial é o conjunto das funções , onde cada é definido por:

Exercícios relacionados

Em cada parte, expresse a equação matricial como um sistema de equações lineares.
Uma matriz simétrica e triangular superior é diagonal.
A inversa de uma matriz triangular inferior invertível é uma matriz triangular superior.
Se e são matrizes tais que é triangular superior, então e são triangulares superiores.