*Se A e B são matrizes quadradas e A é invertível, verifique que
(A+B) A^-1(A-B)=(A-B) A^-1(A+B)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas matrizes quadradas, e , sendo que é invertível (ou seja, tem uma matriz inversa, ). A missão aqui é verificar se multiplicar por e depois por dá o mesmo resultado que fazer vezes e depois . Para resolver isso, vamos usar propriedades das matrizes e da operação de multiplicação delas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, geralmente . Mas, mesmo assim, queremos ver se nesse caso específico a igualdade vale.

Passo 3

Vamos começar expandindo o lado esquerdo da igualdade: (A+B) A^-1 = A A^-1 + B A^-1 . Para multiplicar essas matrizes, a gente vai multiplicar primeiro (A+B) A^-1 = I + B A^-1 por .
Usando a propriedade distributiva:
Sabemos que (a matriz identidade), então:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar (I + B A^-1)(A - B) = I cdot A - I cdot B + B A^-1 cdot A - B A^-1 cdot B por = A - B + B (A^-1 A) - B A^-1 B :
= A - B + B - B A^-1 B
Simplificando:
= A - B A^-1 B
E como :
Os e se cancelam:

Passo 5

Agora, vamos fazer o mesmo processo para o lado direito da igualdade: (A-B) A^-1 = A A^-1 - B A^-1 = I - B A^-1 .
Primeiro, multiplicamos (I - B A^-1)(A + B) = I cdot A + I cdot B - B A^-1 cdot A - B A^-1 cdot B por = A + B - B (A^-1 A) - B A^-1 B :
= A + B - B - B A^-1 B
Depois, multiplicamos = A - B A^-1 B por :
Simplificando:
Como :
Os e se cancelam:

Resposta

Viu só! Tanto o lado esquerdo quanto o direito da igualdade resultam em . Portanto, a igualdade está confirmada.

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