*Se
e
são matrizes quadradas e
é invertível, verifique que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas matrizes quadradas,
e
, sendo que
é invertível (ou seja, tem uma matriz inversa,
). A missão aqui é verificar se multiplicar
por
e depois por
dá o mesmo resultado que fazer
vezes
e depois
. Para resolver isso, vamos usar propriedades das matrizes e da operação de multiplicação delas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, geralmente
. Mas, mesmo assim, queremos ver se nesse caso específico a igualdade
vale.
Passo 3
Vamos começar expandindo o lado esquerdo da igualdade:
. Para multiplicar essas matrizes, a gente vai multiplicar primeiro
por
.
Usando a propriedade distributiva:
Sabemos que
(a matriz identidade), então:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar
por
:
Simplificando:
E como
:
Os
e
se cancelam:
Passo 5
Agora, vamos fazer o mesmo processo para o lado direito da igualdade:
.
Primeiro, multiplicamos
por
:
Depois, multiplicamos
por
:
Simplificando:
Como
:
Os
e
se cancelam:
Resposta
Viu só! Tanto o lado esquerdo quanto o direito da igualdade resultam em
. Portanto, a igualdade
está confirmada.
Exercícios relacionados
(Sel. Mestrado UFSM 2009/1) Nos itens abaixo, considere
e
matrizes
, onde
é a matriz identidade.
(b) Mostre que se e
possuem inversas, então o mesmo acontece
e
.
(b) Mostre que se
*(Sel. Mestrado UFRGS 2006/2) Se
é uma matriz
com elementos
, definimos o seu traço por meio da expressão
.
(b) Se é a matriz identidade
, então mostre que não existem matrizes
e
tais que
.
(b) Se
Seja
uma matriz quadrada. Prove que, se
for invertível, então
também o é.
(Sel. Mestrado UFSM 2009/1) Nos itens abaixo, considere
e
matrizes
, onde
é a matriz identidade.
(a) Seja uma matriz antissimétrica, isto é,
. Suponha que
é não singular.
Mostre que
é não singular. Se
, mostre que
.
(a) Seja