*Se e são matrizes quadradas e é invertível, verifique que

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas matrizes quadradas, e , sendo que é invertível (ou seja, tem uma matriz inversa, ). A missão aqui é verificar se multiplicar por e depois por dá o mesmo resultado que fazer vezes e depois . Para resolver isso, vamos usar propriedades das matrizes e da operação de multiplicação delas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, geralmente . Mas, mesmo assim, queremos ver se nesse caso específico a igualdade vale.

Passo 3

Vamos começar expandindo o lado esquerdo da igualdade: . Para multiplicar essas matrizes, a gente vai multiplicar primeiro por .
Usando a propriedade distributiva:
Sabemos que (a matriz identidade), então:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar por :
Simplificando:
E como :
Os e se cancelam:

Passo 5

Agora, vamos fazer o mesmo processo para o lado direito da igualdade: .
Primeiro, multiplicamos por :
Depois, multiplicamos por :
Simplificando:
Como :
Os e se cancelam:

Resposta

Viu só! Tanto o lado esquerdo quanto o direito da igualdade resultam em . Portanto, a igualdade está confirmada.

Exercícios relacionados

(Sel. Mestrado UFSM 2009/1) Nos itens abaixo, considere e matrizes , onde é a matriz identidade.
(b) Mostre que se e possuem inversas, então o mesmo acontece e .
*(Sel. Mestrado UFRGS 2006/2) Se é uma matriz com elementos , definimos o seu traço por meio da expressão .
(b) Se é a matriz identidade , então mostre que não existem matrizes e tais que .
Seja uma matriz quadrada. Prove que, se for invertível, então também o é.
(Sel. Mestrado UFSM 2009/1) Nos itens abaixo, considere e matrizes , onde é a matriz identidade.
(a) Seja uma matriz antissimétrica, isto é, . Suponha que é não singular. Mostre que é não singular. Se , mostre que .