Seja
uma matriz quadrada. Prove que, se
for invertível, então
também o é.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para provar que se
é invertível, então
também é invertível. Esse problema está no campo da Álgebra Linear, especificamente tratando de matrizes e suas propriedades de invertibilidade. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser invertível e como as potências de uma matriz se relacionam com sua invertibilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz invertível. Uma matriz
quadrada é invertível se existe outra matriz
tal que
, onde
é a matriz identidade. Isso significa que multiplicar
por
retorna a matriz identidade, funcionando como o número 1 na multiplicação de escalar.
Passo 3
Agora, sabemos que
é invertível. Então, existe uma matriz
tal que:
Isso significa que
é o inverso de
.
Passo 4
Queremos provar que
é invertível. Para isso, precisamos encontrar uma matriz que, quando multiplicada por
, resulte na matriz identidade
.
Passo 5
Vamos considerar que
multiplicando-se por
dá:
Mas queremos que isso seja igual a
. Para ajustar isso, vamos assumir que
é a inversa de
.
Passo 6
De fato, podemos definir
. Então, temos:
E também:
Então,
, o que significa que
é o inverso de
.
Resposta
Portanto, se
é invertível, então
também é invertível, com o inverso dado por
.