Seja A uma matriz quadrada. Prove que, se A^2 for invertível, então A também o é.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para provar que se é invertível, então também é invertível. Esse problema está no campo da Álgebra Linear, especificamente tratando de matrizes e suas propriedades de invertibilidade. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser invertível e como as potências de uma matriz se relacionam com sua invertibilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz invertível. Uma matriz quadrada é invertível se existe outra matriz tal que , onde é a matriz identidade. Isso significa que multiplicar por retorna a matriz identidade, funcionando como o número 1 na multiplicação de escalar.

Passo 3

Agora, sabemos que A^2 C = C A^2 = I é invertível. Então, existe uma matriz tal que:
Isso significa que é o inverso de .

Passo 4

Queremos provar que é invertível. Para isso, precisamos encontrar uma matriz que, quando multiplicada por , resulte na matriz identidade .

Passo 5

Vamos considerar que A (C A) = (A C) A = I A = A multiplicando-se por dá:
Mas queremos que isso seja igual a . Para ajustar isso, vamos assumir que é a inversa de .

Passo 6

De fato, podemos definir A B = A (C A) = (A C) A = I A = A . Então, temos:
B A = (C A) A = C (A A) = C A^2 = I
E também:
Então, , o que significa que é o inverso de .

Resposta

Portanto, se é invertível, então também é invertível, com o inverso dado por .

Exercícios relacionados