*(Sel. Mestrado UFRGS 2006/2) Se
é uma matriz
com elementos
, definimos o seu traço por meio da expressão
.
(b) Se
é a matriz identidade
, então mostre que não existem matrizes
e
tais que
.
(b) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que não existem matrizes
e
de tamanho
tais que
, onde
é a matriz identidade. Para resolver isso, vamos usar o conceito de traço de uma matriz, que é a soma dos elementos da diagonal principal. A ideia é aplicar propriedades do traço para chegar a uma contradição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o traço de uma matriz
, denotado por
, é dado por:
onde
são os elementos da diagonal principal de
.
Passo 3
Sabemos de uma propriedade importante do traço que é:
Isso vale para quaisquer matrizes
e
de tamanho
.
Passo 4
Vamos aplicar o traço na equação que queremos investigar:
Tirando o traço dos dois lados:
Passo 5
Usando a propriedade do traço, temos:
Mas, como
, o lado esquerdo fica:
Então:
Passo 6
Agora, calculando o traço da matriz identidade
:
Então, temos:
Passo 7
Chegamos a uma contradição, pois
(o tamanho da matriz) é um número natural maior ou igual a 1, e não pode ser igual a zero. Isso significa que nossa suposição inicial de que existem matrizes
e
tais que
está errada.
Resposta
Não existem matrizes
e
de tamanho
tais que
.