*(Sel. Mestrado UFRGS 2006/2) Se M é uma matriz n times n com elementos mi j1 <= i, j <= n, definimos o seu traço por meio da expressão tr(M)=sumi=1^n mi i.
(b) Se I é a matriz identidade n times n, então mostre que não existem matrizes A e B tais que A B-B A=I.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que não existem matrizes e de tamanho tais que , onde é a matriz identidade. Para resolver isso, vamos usar o conceito de traço de uma matriz, que é a soma dos elementos da diagonal principal. A ideia é aplicar propriedades do traço para chegar a uma contradição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o traço de uma matriz tr(M) = sumi=1^n mii , denotado por , é dado por:
onde são os elementos da diagonal principal de .

Passo 3

Sabemos de uma propriedade importante do traço que é:
tr(AB) = tr(BA)
Isso vale para quaisquer matrizes e de tamanho .

Passo 4

Vamos aplicar o traço na equação que queremos investigar:
AB - BA = I
Tirando o traço dos dois lados:
tr(AB - BA) = tr(I)

Passo 5

Usando a propriedade do traço, temos:
tr(AB) - tr(BA) = tr(I)
Mas, como tr(AB) - tr(AB) = 0 , o lado esquerdo fica:
0 = tr(I)
Então:

Passo 6

Agora, calculando o traço da matriz identidade tr(I) = sumi=1^n 1 = n :
0 = n
Então, temos:

Passo 7

Chegamos a uma contradição, pois (o tamanho da matriz) é um número natural maior ou igual a 1, e não pode ser igual a zero. Isso significa que nossa suposição inicial de que existem matrizes e tais que está errada.

Resposta

Não existem matrizes e de tamanho tais que .

Exercícios relacionados