*(Sel. Mestrado UFRGS 2006/2) Se é uma matriz com elementos , definimos o seu traço por meio da expressão .
(b) Se é a matriz identidade , então mostre que não existem matrizes e tais que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que não existem matrizes e de tamanho tais que , onde é a matriz identidade. Para resolver isso, vamos usar o conceito de traço de uma matriz, que é a soma dos elementos da diagonal principal. A ideia é aplicar propriedades do traço para chegar a uma contradição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o traço de uma matriz , denotado por , é dado por:
onde são os elementos da diagonal principal de .

Passo 3

Sabemos de uma propriedade importante do traço que é:
Isso vale para quaisquer matrizes e de tamanho .

Passo 4

Vamos aplicar o traço na equação que queremos investigar:
Tirando o traço dos dois lados:

Passo 5

Usando a propriedade do traço, temos:
Mas, como , o lado esquerdo fica:
Então:

Passo 6

Agora, calculando o traço da matriz identidade :
Então, temos:

Passo 7

Chegamos a uma contradição, pois (o tamanho da matriz) é um número natural maior ou igual a 1, e não pode ser igual a zero. Isso significa que nossa suposição inicial de que existem matrizes e tais que está errada.

Resposta

Não existem matrizes e de tamanho tais que .

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Seja tal que . Determine
Seja tal que . Determine
(Sel. Mestrado UFSM 2009/1) Nos itens abaixo, considere e matrizes , onde é a matriz identidade.
(b) Mostre que se e possuem inversas, então o mesmo acontece e .
*Se e são matrizes quadradas e é invertível, verifique que