(Sel. Mestrado UFSM 2009/1) Nos itens abaixo, considere
e
matrizes
, onde
é a matriz identidade.
(b) Mostre que se
e
possuem inversas, então o mesmo acontece
e
.
(b) Mostre que se
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos quatro matrizes quadradas
e
de tamanho
, onde
é a matriz identidade. O enunciado quer que a gente mostre que, se
,
e
têm inversas, então a soma das inversas
também tem inversa. Além disso, precisamos provar que essa inversa é igual a
e também a
.
Aqui, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre matrizes inversas e propriedades de multiplicação de matrizes. Vamos resolver isso passo a passo para ficar bem claro.
Passo 2
Primeiro, vamos começar lembrando que uma matriz
tem inversa se existe outra matriz
tal que
, onde
é a matriz identidade. No nosso caso, sabemos que
,
e
têm inversas, ou seja,
,
e
existem.
Passo 3
Agora, queremos mostrar que
também tem inversa. Para isso, precisamos encontrar uma matriz que, quando multiplicada por
, resulte na matriz identidade
.
Passo 4
Vamos propor que a inversa de
seja
. Ou seja, queremos verificar se:
Passo 5
Vamos multiplicar as matrizes passo a passo:
Primeiro, distribua
e
nas matrizes seguintes:
Passo 6
Simplifique
e
. Lembrando que
e
:
O que resulta em:
Passo 7
Agora, podemos fatorar
à esquerda:
Como a adição de matrizes é comutativa,
:
Passo 8
Multiplicando
por
, obtemos a matriz identidade:
Isso confirma que
é de fato a inversa de
.
Resposta
Exercícios relacionados
*(Sel. Mestrado UFRGS 2006/2) Se
é uma matriz
com elementos
, definimos o seu traço por meio da expressão
.
(b) Se é a matriz identidade
, então mostre que não existem matrizes
e
tais que
.
(b) Se
Seja
tal que
. Determine
*Se
e
são matrizes quadradas e
é invertível, verifique que
Seja
uma matriz quadrada. Prove que, se
for invertível, então
também o é.