(Sel. Mestrado UFSM 2009/1) Nos itens abaixo, considere e matrizes , onde é a matriz identidade.
(b) Mostre que se e possuem inversas, então o mesmo acontece e .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos quatro matrizes quadradas e de tamanho , onde é a matriz identidade. O enunciado quer que a gente mostre que, se , e têm inversas, então a soma das inversas também tem inversa. Além disso, precisamos provar que essa inversa é igual a e também a .
Aqui, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre matrizes inversas e propriedades de multiplicação de matrizes. Vamos resolver isso passo a passo para ficar bem claro.

Passo 2

Primeiro, vamos começar lembrando que uma matriz tem inversa se existe outra matriz tal que , onde é a matriz identidade. No nosso caso, sabemos que , e têm inversas, ou seja, , e existem.

Passo 3

Agora, queremos mostrar que também tem inversa. Para isso, precisamos encontrar uma matriz que, quando multiplicada por , resulte na matriz identidade .

Passo 4

Vamos propor que a inversa de seja . Ou seja, queremos verificar se:

Passo 5

Vamos multiplicar as matrizes passo a passo:
Primeiro, distribua e nas matrizes seguintes:

Passo 6

Simplifique e . Lembrando que e :
O que resulta em:

Passo 7

Agora, podemos fatorar à esquerda:
Como a adição de matrizes é comutativa, :

Passo 8

Multiplicando por , obtemos a matriz identidade:
Isso confirma que é de fato a inversa de .

Resposta

Exercícios relacionados

*(Sel. Mestrado UFRGS 2006/2) Se é uma matriz com elementos , definimos o seu traço por meio da expressão .
(b) Se é a matriz identidade , então mostre que não existem matrizes e tais que .
Seja tal que . Determine
*Se e são matrizes quadradas e é invertível, verifique que
Seja uma matriz quadrada. Prove que, se for invertível, então também o é.