(Sel. Mestrado UFSM 2009/1) Nos itens abaixo, considere A, B, K e I matrizes n times n, onde I é a matriz identidade.
(b) Mostre que se A, B e A+B possuem inversas, então o mesmo acontece com(A^-1+B^-1) e (A^-1+B^-1)^-1=A(A+B)^-1 B= B(A+B)^-1 A.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos quatro matrizes quadradas e de tamanho , onde é a matriz identidade. O enunciado quer que a gente mostre que, se , e têm inversas, então a soma das inversas também tem inversa. Além disso, precisamos provar que essa inversa é igual a e também a .
Aqui, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre matrizes inversas e propriedades de multiplicação de matrizes. Vamos resolver isso passo a passo para ficar bem claro.

Passo 2

Primeiro, vamos começar lembrando que uma matriz tem inversa se existe outra matriz tal que , onde é a matriz identidade. No nosso caso, sabemos que , e têm inversas, ou seja, , e existem.

Passo 3

Agora, queremos mostrar que também tem inversa. Para isso, precisamos encontrar uma matriz que, quando multiplicada por , resulte na matriz identidade .

Passo 4

Vamos propor que a inversa de (A^-1 + B^-1) cdot A(A + B)^-1B = I seja . Ou seja, queremos verificar se:

Passo 5

Vamos multiplicar as matrizes passo a passo:
Primeiro, distribua A^-1 cdot A(A + B)^-1B + B^-1 cdot A(A + B)^-1B e nas matrizes seguintes:

Passo 6

Simplifique I cdot (A + B)^-1B + I cdot (A + B)^-1A e (A + B)^-1B + (A + B)^-1A . Lembrando que e :
O que resulta em:

Passo 7

Agora, podemos fatorar (A + B)^-1(B + A) à esquerda:
(A + B)^-1(A + B)
Como a adição de matrizes é comutativa, :

Passo 8

Multiplicando I por , obtemos a matriz identidade:
Isso confirma que é de fato a inversa de .

Resposta

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