(Sel. Mestrado UFSM 2009/1) Nos itens abaixo, considere
e
matrizes
, onde
é a matriz identidade.
(a) Seja
uma matriz antissimétrica, isto é,
. Suponha que
é não singular.
Mostre que
é não singular. Se
, mostre que
.
(a) Seja
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre matrizes quadradas (do mesmo tamanho) e propriedades específicas delas. Aqui, temos uma matriz
que é antissimétrica, ou seja,
(onde
é a transposta de
). Também sabemos que
(sendo
a matriz identidade) é não singular, o que significa que ela tem inversa. Nosso objetivo é mostrar duas coisas:
- Que
também é não singular. - Que, se definirmos
, então .
Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que
é não singular. Lembre-se que uma matriz é não singular se ela tem uma inversa, ou seja, se seu determinante é diferente de zero.
Sabemos que
é não singular, então
existe. Agora, queremos provar que
também tem inversa.
Uma estratégia útil aqui é usar o fato de que se
é antissimétrica (
), então:
Aqui, estamos multiplicando
por
. Se conseguirmos mostrar que o resultado dessa multiplicação é uma matriz não singular, então
também deve ser não singular.
Passo 3
Vamos calcular
:
Então, temos:
Agora, como
é não singular, e assumindo que
também é não singular, isso implica que
é não singular. Portanto,
tem inversa.
Passo 4
Agora, vamos definir
e mostrar que
.
Primeiro, vamos calcular a transposta de
:
Mas sabemos que
, então:
Substituindo de volta:
Agora, vamos multiplicar
:
Mas já mostramos que
, então:
Para que
, precisamos que
. Portanto, a única solução consistente é
, o que confirma que
.
Resposta
Assim, mostramos que
é não singular e que
.