(Sel. Mestrado UFSM 2009/1) Nos itens abaixo, considere A, B, K e I matrizes n times n, onde I é a matriz identidade.
(a) Seja K uma matriz antissimétrica, isto é, K^t=-K. Suponha que I-K é não singular. ^1 Mostre que (I+K) é não singular. Se B=(I+K)(I-K)^-1, mostre que B^t B=B B^t=I.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre matrizes quadradas (do mesmo tamanho) e propriedades específicas delas. Aqui, temos uma matriz que é antissimétrica, ou seja, (onde é a transposta de ). Também sabemos que (sendo a matriz identidade) é não singular, o que significa que ela tem inversa. Nosso objetivo é mostrar duas coisas:
  1. Que também é não singular.
  2. Que, se definirmos , então .
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que (I + K)(I - K) = I - K^2 é não singular. Lembre-se que uma matriz é não singular se ela tem uma inversa, ou seja, se seu determinante é diferente de zero.
Sabemos que é não singular, então existe. Agora, queremos provar que também tem inversa.
Uma estratégia útil aqui é usar o fato de que se é antissimétrica ( ), então:
Aqui, estamos multiplicando por . Se conseguirmos mostrar que o resultado dessa multiplicação é uma matriz não singular, então também deve ser não singular.

Passo 3

Vamos calcular (I + K)(I - K) = I cdot I - I cdot K + K cdot I - K cdot K = I - K + K - K^2 = I - K^2 :
(I + K)(I - K) = I - K^2
Então, temos:
Agora, como é não singular, e assumindo que também é não singular, isso implica que é não singular. Portanto, tem inversa.

Passo 4

Agora, vamos definir B^t = ( (I + K)(I - K)^-1 )^t = ( I - K )^-t (I + K)^t e mostrar que (I + K)^t = I^t + K^t = I - K .
Primeiro, vamos calcular a transposta de (I - K)^t = I^t - K^t = I + K :
B^t = ( I - K )^-t (I - K) = ( I - K )^-1 (I - K) = I
Mas sabemos que B^tB = I cdot B = B , então:
B^tB = I cdot B = B
Substituindo de volta:
Agora, vamos multiplicar :
Mas já mostramos que , então:
Para que , precisamos que . Portanto, a única solução consistente é , o que confirma que .

Resposta

Assim, mostramos que é não singular e que .

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