Se
e
são matrizes quadradas de mesma ordem, então
? Resp.: Não
Passo 1
Vamos entender o que a questão está perguntando. Temos duas matrizes quadradas,
e
, que são do mesmo tamanho. A pergunta é: será que
é igual a
? Para resolver isso, precisamos conhecer como funciona a multiplicação de matrizes e as propriedades dela, especialmente a distributiva e a comutativa.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir
. Por definição, isso significa multiplicar
por
:
Passo 3
Agora, aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação sobre a soma:
Distribuindo novamente:
Isso simplifica para:
Passo 4
Vamos comparar isso com a expressão que a questão sugere:
Percebemos que na expansão de
temos
em vez de
. A diferença está em
versus
.
Passo 5
Aqui entra uma propriedade importante das matrizes: em geral,
não é igual a
. Isso significa que
não necessariamente é igual a
. Portanto, a igualdade
só vale se
, ou seja, se as matrizes
e
comutam.
Resposta
Não, porque
não é necessariamente igual a
a menos que
e
comutem (
). Portanto,
é igual a
, que geralmente não é igual a
.
Exercícios relacionados
Determine o raio de convergência de cada uma das séries.
a)
a)
Verifique se
é um espaço vetorial sobre
com relação às seguintes operações:
b)
b)
Seja
a transformação linear definida por
Determine a matriz de
em relação às bases ordenadas:
de
e
canônica de
.
Determinar, se possível, a inversa de cada matriz a seguir:
(a) Resp.:
(a)