Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então (A+B)^2=A^2+B^2+2 A B ? Resp.: Não

Passo 1

Vamos entender o que a questão está perguntando. Temos duas matrizes quadradas, e , que são do mesmo tamanho. A pergunta é: será que é igual a ? Para resolver isso, precisamos conhecer como funciona a multiplicação de matrizes e as propriedades dela, especialmente a distributiva e a comutativa.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir (A + B)^2 = (A + B)(A + B) . Por definição, isso significa multiplicar por :

Passo 3

Agora, aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação sobre a soma:
(A + B)(A + B) = A(A + B) + B(A + B)
Distribuindo novamente:
= AA + AB + BA + BB
Isso simplifica para:
= A^2 + AB + BA + B^2

Passo 4

Vamos comparar isso com a expressão que a questão sugere:
A^2 + B^2 + 2AB
Percebemos que na expansão de temos em vez de . A diferença está em versus .

Passo 5

Aqui entra uma propriedade importante das matrizes: em geral, não é igual a . Isso significa que não necessariamente é igual a . Portanto, a igualdade só vale se , ou seja, se as matrizes e comutam.

Resposta

Não, porque não é necessariamente igual a a menos que e comutem ( ). Portanto, é igual a , que geralmente não é igual a .

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