Determine o raio de convergência de cada uma das séries.
a) sumn=0^infty 11^n+2 in! z^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema que pede para determinar o raio de convergência da série sumn=0^infty 11^n+2in! z^n. Isso está relacionado ao estudo de séries de potências na matemática, onde precisamos descobrir para quais valores de a série converge. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. O raio de convergência limn to infty | an+1an | de uma série de potências R = 1L é o valor tal que a série converge para todos os com e diverge para . Para encontrar , usamos o Teste da Razão, que envolve calcular o limite:
Se esse limite for , então o raio de convergência é dado por:

Passo 3

Vamos identificar os coeficientes an = 11^n + 2in! da nossa série. Na nossa série, temos:
| an+1an | = | 11^(n+1) + 2i(n+1)! cdot n!11^n + 2i | = | 11^n+1 + 2i(n+1)! cdot n!11^n + 2i |
Vamos calcular a razão | an+1an | = | 11^n+1 cdot 11^2i(n+1)! cdot n!11^n cdot 11^2i | = | 11n+1 | :
Simplificando, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando limn to infty | 11n+1 | = limn to infty 11n+1 = 0 tende ao infinito:

Passo 5

Como o limite R = 1L = 10 = +infty , o raio de convergência é:

Resposta

O raio de convergência da série é .

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