Verifique se R^2 é um espaço vetorial sobre R com relação às seguintes operações:
b) c(x1, y1)+(x2, y2)=(x1, y1) alpha(x1, y1)=(alpha x1, alpha y1)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Queremos verificar se o conjunto (x1, y1)+(x2, y2)=(x1, y1) alpha(x1, y1)=(alpha x1, alpha y1) é um espaço vetorial sobre com as operações dadas:
Para isso, vamos precisar entender os axiomas de espaço vetorial e verificar se essas operações satisfazem todos eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. É um conjunto de vetores onde podemos fazer adição e multiplicação por escalar, e essas operações devem seguir certas regras chamadas axiomas. São eles:
  1. Comutatividade da adição:
  2. Associatividade da adição:
  3. Elemento neutro da adição: Existe um vetor tal que
  4. Elemento inverso da adição: Para todo , existe tal que
  5. Compatibilidade da multiplicação por escalar:
  6. Elemento neutro da multiplicação por escalar:
  7. Distributividade em relação à adição de vetores:
  8. Distributividade em relação à adição de escalares:
Vamos verificar se todas essas propriedades são satisfeitas com as operações fornecidas.

Passo 3

1. Comutatividade da adição
As operações de adição dadas são:
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1, y1)
Vamos verificar se (x1, y1) + (x2, y2) = (x1, y1) :
(x2, y2) + (x1, y1) = (x2, y2)
Para ser comutativa, precisaríamos que para todo , o que não é verdade. Então, a comutatividade não é satisfeita.

Passo 4

Como a comutatividade da adição já falhou, não precisamos verificar os outros axiomas. Para um conjunto ser um espaço vetorial, todos os axiomas devem ser satisfeitos. Portanto, com as operações dadas não é um espaço vetorial sobre .

Resposta

não é um espaço vetorial sobre com as operações fornecidas.

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