Verifique se
é um espaço vetorial sobre
com relação às seguintes operações:
b)
b)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Queremos verificar se o conjunto
é um espaço vetorial sobre
com as operações dadas:
Para isso, vamos precisar entender os axiomas de espaço vetorial e verificar se essas operações satisfazem todos eles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. É um conjunto de vetores onde podemos fazer adição e multiplicação por escalar, e essas operações devem seguir certas regras chamadas axiomas. São eles:
- Comutatividade da adição:
- Associatividade da adição:
- Elemento neutro da adição: Existe um vetor
tal que - Elemento inverso da adição: Para todo
, existe tal que - Compatibilidade da multiplicação por escalar:
- Elemento neutro da multiplicação por escalar:
- Distributividade em relação à adição de vetores:
- Distributividade em relação à adição de escalares:
Vamos verificar se todas essas propriedades são satisfeitas com as operações fornecidas.
Passo 3
1. Comutatividade da adição
As operações de adição dadas são:
Vamos verificar se
:
Para ser comutativa, precisaríamos que
para todo
, o que não é verdade. Então, a comutatividade não é satisfeita.
Passo 4
Como a comutatividade da adição já falhou, não precisamos verificar os outros axiomas. Para um conjunto ser um espaço vetorial, todos os axiomas devem ser satisfeitos. Portanto,
com as operações dadas não é um espaço vetorial sobre
.
Resposta
Exercícios relacionados
Determine o raio de convergência de cada uma das séries.
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Mostre que a série
diverge.
Determine o raio de convergência de cada uma das séries.
a)
a)
Se
e
são matrizes quadradas de mesma ordem, então
? Resp.: Não