Se e são matrizes quadradas de ordem 2 que possuem polinômios característicos iguais, prove que e também possuem determinantes iguais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas matrizes quadradas de ordem 2, chamadas A e B, que têm o mesmo polinômio característico. Nosso objetivo é mostrar que, se isso é verdade, então o determinante de A é igual ao determinante de B. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um polinômio característico e como ele se relaciona com o determinante das matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio característico de uma matriz. O polinômico característico de uma matriz A é dado por:
Aqui, é a matriz identidade da mesma ordem que A, e representa o determinante. Esse polinômio é muito importante porque ele nos dá informações sobre as propriedades da matriz, como seus autovalores.
Passo 3
Agora, como estamos lidando com matrizes 2x2, podemos expandir o polinômio característico de maneira mais específica. Para uma matriz quadrada de ordem 2, o polinômio característico fica assim:
Aqui, representa a traça de A, que é a soma dos elementos da diagonal principal da matriz.
Passo 4
Sabendo disso, se temos que as matrizes A e B têm o mesmo polinômio característico, podemos igualar seus polinômios:
O que significa que:
Passo 5
Como os polinômios característicos de A e B são iguais para todo x, os coeficientes correspondentes devem ser iguais. Isso nos dá duas equações:
Passo 6
A segunda equação já é exatamente o que queremos provar: . Portanto, mostramos que se duas matrizes 2x2 têm o mesmo polinômio característico, elas necessariamente têm determinantes iguais.