Se A e B são matrizes quadradas de ordem 2 que possuem polinômios característicos iguais, prove que A e B também possuem determinantes iguais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas matrizes quadradas de ordem 2, chamadas A e B, que têm o mesmo polinômio característico. Nosso objetivo é mostrar que, se isso é verdade, então o determinante de A é igual ao determinante de B. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um polinômio característico e como ele se relaciona com o determinante das matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio característico de uma matriz. O polinômico característico de uma matriz A é dado por:
pA(x) = det(xI - A)
Aqui, é a matriz identidade da mesma ordem que A, e representa o determinante. Esse polinômio é muito importante porque ele nos dá informações sobre as propriedades da matriz, como seus autovalores.

Passo 3

Agora, como estamos lidando com matrizes 2x2, podemos expandir o polinômio característico de maneira mais específica. Para uma matriz quadrada de ordem 2, o polinômio característico fica assim:
pA(x) = x^2 - (tr(A))x + det(A)
Aqui, representa a traça de A, que é a soma dos elementos da diagonal principal da matriz.

Passo 4

Sabendo disso, se temos que as matrizes A e B têm o mesmo polinômio característico, podemos igualar seus polinômios:
pA(x) = pB(x)
O que significa que:
x^2 - (tr(A))x + det(A) = x^2 - (tr(B))x + det(B)

Passo 5

Como os polinômios característicos de A e B são iguais para todo x, os coeficientes correspondentes devem ser iguais. Isso nos dá duas equações:

Passo 6

A segunda equação já é exatamente o que queremos provar: . Portanto, mostramos que se duas matrizes 2x2 têm o mesmo polinômio característico, elas necessariamente têm determinantes iguais.

Resposta

Assim, concluímos que .

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