Verifique se os sistemas são possíveis e, em seguida, resolva-os, se possível, utilizando a regra de Cramer:
lx+2 y=-3 z 2 x+y=-3 z 3 x+z=-y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O enunciado pede para verificar se o sistema é possível e, se for, resolver usando a regra de Cramer. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sistemas lineares e determinantes. Precisaremos organizar as equações de forma padrão e aplicar a regra de Cramer para encontrar as soluções para , e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma padrão, ou seja, com todas as variáveis de um lado e os termos constantes do outro. As equações dadas são:
x + 2y = -3z 2x + y = -3z 3x + z = -y
Vamos reorganizar cada uma para deixar todas as variáveis juntas:
x + 2y + 3z = 0 2x + y + 3z = 0 3x + y + z = 0
Agora, temos o sistema na forma padrão , onde é a matriz de coeficientes.

Passo 3

Para aplicar a regra de Cramer, precisamos que o sistema tenha uma única solução. Isso acontece quando o determinante da matriz de coeficientes A = 1 & 2 & 3 2 & 1 & 3 3 & 1 & 1 é diferente de zero. Vamos calcular esse determinante.
A matriz de coeficientes det(A) = 1 cdot 1 & 3 1 & 1 - 2 cdot 2 & 3 3 & 1 + 3 cdot 2 & 1 3 & 1 é:
1 & 3 1 & 1 = (1)(1) - (3)(1) = 1 - 3 = -2
O determinante de 2 & 3 3 & 1 = (2)(1) - (3)(3) = 2 - 9 = -7 , denotado por 2 & 1 3 & 1 = (2)(1) - (1)(3) = 2 - 3 = -1 , é calculado da seguinte maneira:
det(A) = 1(-2) - 2(-7) + 3(-1) = -2 + 14 - 3 = 9
Calculando cada menor:
Agora, substituindo de volta:
Como , o sistema é possível e determinado, ou seja, possui uma única solução.

Passo 4

Agora que sabemos que o sistema tem uma única solução, vamos aplicar a regra de Cramer para encontrar os valores de xi = det(Ai)det(A) , e .
A regra de Cramer diz que cada variável pode ser encontrada pela fórmula:
onde é a matriz com a -ésima coluna substituída pela coluna dos termos constantes.
No nosso caso, o sistema é homogêneo ( ), o que geralmente leva à solução trivial . Mas vamos seguir com a regra de Cramer para confirmar.

Passo 5

Primeiro, encontramos Ax = 0 & 2 & 3 0 & 1 & 3 0 & 1 & 1 , Ay = 1 & 0 & 3 2 & 0 & 3 3 & 0 & 1 , Az = 1 & 2 & 0 2 & 1 & 0 3 & 1 & 0 , det(Ax) = 0 cdot 1 & 3 1 & 1 - 2 cdot 0 & 3 0 & 1 + 3 cdot 0 & 1 0 & 1 = 0 - 2(0 - 0) + 3(0 - 0) = 0 e det(Ay) = 1 cdot 0 & 3 0 & 1 - 0 cdot 2 & 3 3 & 1 + 3 cdot 2 & 0 3 & 0 = 1(0 - 0) - 0 + 3(0 - 0) = 0 substituindo as colunas correspondentes:
det(Az) = 1 cdot 1 & 0 1 & 0 - 2 cdot 2 & 0 3 & 0 + 0 cdot 2 & 1 3 & 1 = 1(0 - 0) - 2(0 - 0) + 0 = 0
Vamos calcular os determinantes dessas matrizes.
Para :
Para :
Para :

Passo 6

Agora, aplicamos a regra de Cramer:
x = det(Ax)det(A) = 09 = 0
y = det(Ay)det(A) = 09 = 0
z = det(Az)det(A) = 09 = 0

Resposta

A solução do sistema é , e .

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