Verifique se o conjunto (1,0,2),(2,3,0) é LI ou LD.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o conjunto (1,0,2),(2,3,0) é Linearmente Independente (LI) ou Linearmente Dependente (LD). Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com o conceito de independência linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto de vetores ser LI ou LD e aplicar esse conceito aos vetores fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto de vetores ser Linearmente Independente. Um conjunto de vetores é LI se nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores. Isso significa que a única solução para a equação:
a1 cdot v1 + a2 cdot v2 = 0
é quando todos os coeficientes a1 e a2 são zero.

Passo 3

Vamos aplicar isso aos vetores que temos: v1 = (1,0,2) e v2 = (2,3,0). Precisamos ver se existe alguma combinação desses vetores que resulte no vetor nulo 0 = (0,0,0), além da combinação trivial (onde todos os coeficientes são zero).
Isso quer dizer que precisamos resolver o seguinte sistema de equações:
a1 cdot 1 + a2 cdot 2 = 0 (componente x)
a1 cdot 0 + a2 cdot 3 = 0 (componente y)
a1 cdot 2 + a2 cdot 0 = 0 (componente z)

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo.
  1. Primeira equação: a1 + 2a2 = 0
  2. Segunda equação: 0a1 + 3a2 = 0 3a2 = 0 a2 = 0
  3. Terceira equação: 2a1 + 0a2 = 0 2a1 = 0 a1 = 0
Encontramos que a única solução é a1 = 0 e a2 = 0, que é a combinação trivial.

Passo 5

Como a única solução para o sistema é a combinação trivial, isso significa que não existe nenhuma combinação não trivial dos vetores v1 e v2 que resulte no vetor nulo. Portanto, os vetores não estão relacionados por uma escala, ou seja, nenhum é múltiplo do outro.

Resposta

O conjunto (1,0,2),(2,3,0) é Linearmente Independente (LI).

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