Verifique se o conjunto
é LI ou LD.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o conjunto
é Linearmente Independente (LI) ou Linearmente Dependente (LD). Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com o conceito de independência linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto de vetores ser LI ou LD e aplicar esse conceito aos vetores fornecidos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto de vetores ser Linearmente Independente. Um conjunto de vetores é LI se nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores. Isso significa que a única solução para a equação:
é quando todos os coeficientes
e
são zero.
Passo 3
Vamos aplicar isso aos vetores que temos:
e
. Precisamos ver se existe alguma combinação desses vetores que resulte no vetor nulo
, além da combinação trivial (onde todos os coeficientes são zero).
Isso quer dizer que precisamos resolver o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
- Primeira equação:
- Segunda equação:
⇒ ⇒ - Terceira equação:
⇒ ⇒
Encontramos que a única solução é
e
, que é a combinação trivial.
Passo 5
Como a única solução para o sistema é a combinação trivial, isso significa que não existe nenhuma combinação não trivial dos vetores
e
que resulte no vetor nulo. Portanto, os vetores não estão relacionados por uma escala, ou seja, nenhum é múltiplo do outro.
Resposta
O conjunto
é Linearmente Independente (LI).
Exercícios relacionados
Sejam
e
a transformação linear dada por
, sendo
uma
matriz fixa sobre o corpo
. Mostre que se
é a Transformação Linear Nula, então
é a
matriz nula
.
Se
e
são matrizes quadradas de ordem 2 que possuem polinômios característicos iguais, prove que
e
também possuem determinantes iguais.
Identificar e descrever as superfícies de equações dadas.
Nos exercícios
, determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente.
.