Sejam e a transformação linear dada por , sendo uma matriz fixa sobre o corpo . Mostre que se é a Transformação Linear Nula, então é a matriz nula .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas espaços vetoriais:
: que são todas as matrizes com 4 linhas e 1 coluna, ou seja, vetores em .
: que são todas as matrizes com 3 linhas e 1 coluna, ou seja, vetores em .
Temos também uma transformação linear definida por , onde é uma matriz fixa de tamanho . O exercício quer que a gente mostre que se essa transformação sempre manda qualquer vetor de para o vetor nulo em (ou seja, é a transformação linear nula), então a matriz também deve ser a matriz nula .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear nula e como ela se relaciona com a matriz .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear nula. Uma transformação linear é chamada de nula se, para todo vetor em , temos no espaço . Ou seja, nenhum vetor de é transformado em algum outro vetor não-zero em .
No nosso caso, isso significa que para todo vetor em , a multiplicação resulta no vetor zero em .
Passo 3
Agora, vamos analisar o que significa que para todo em . A multiplicação é definida da seguinte maneira:
Se é uma matriz e é um vetor coluna , então:
[
A \cdot X =
\cdot
]
Para que esse produto seja o vetor zero para todo , cada uma dessas combinações lineares deve ser igual a zero.
para todo , cada coeficiente deve ser zero. Se algum fosse diferente de zero, poderíamos escolher um que tornaria aquela combinação linear diferente de zero, o que contradiria a hipótese de que é a transformação nula.
Passo 5
Portanto, concluímos que todos os elementos da matriz devem ser zero. Ou seja, é a matriz nula . Isso garante que, independentemente do vetor escolhido em , o produto sempre será o vetor zero em .
Resposta
Se a transformação linear é nula, então a matriz deve ser a matriz nula .