Sejam V=M4 times 1(R), W=M3 times 1(R) e T: V W a transformação linear dada por T(X)=A cdot X, sendo A uma 3 times 4 matriz fixa sobre o corpo R. Mostre que se T é a Transformação Linear Nula, então A é a 3 times 4 matriz nula O3 times 4.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas espaços vetoriais:
  • : que são todas as matrizes com 4 linhas e 1 coluna, ou seja, vetores em .
  • : que são todas as matrizes com 3 linhas e 1 coluna, ou seja, vetores em .
Temos também uma transformação linear definida por , onde é uma matriz fixa de tamanho . O exercício quer que a gente mostre que se essa transformação sempre manda qualquer vetor de para o vetor nulo em (ou seja, é a transformação linear nula), então a matriz também deve ser a matriz nula .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear nula e como ela se relaciona com a matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear nula. Uma transformação linear é chamada de nula se, para todo vetor em , temos no espaço . Ou seja, nenhum vetor de é transformado em algum outro vetor não-zero em .
No nosso caso, isso significa que para todo vetor em , a multiplicação resulta no vetor zero em .

Passo 3

Agora, vamos analisar o que significa que A cdot X = a11 & a12 & a13 & a14 a21 & a22 & a23 & a24 a31 & a32 & a33 & a34 cdot x1 x2 x3 x4 = a11x1 + a12x2 + a13x3 + a14x4 a21x1 + a22x2 + a23x3 + a24x4 a31x1 + a32x2 + a33x3 + a34x4 para todo em . A multiplicação é definida da seguinte maneira:
Se é uma matriz e é um vetor coluna , então:

[
A \cdot X =
\cdot


]
Para que esse produto seja o vetor zero para todo , cada uma dessas combinações lineares deve ser igual a zero.

Passo 4

Vamos considerar as entradas da matriz a11x1 + a12x2 + a13x3 + a14x4 a21x1 + a22x2 + a23x3 + a24x4 a31x1 + a32x2 + a33x3 + a34x4 = 0 0 0 . Para que:

[


]
para todo , cada coeficiente deve ser zero. Se algum fosse diferente de zero, poderíamos escolher um que tornaria aquela combinação linear diferente de zero, o que contradiria a hipótese de que é a transformação nula.

Passo 5

Portanto, concluímos que todos os elementos da matriz devem ser zero. Ou seja, é a matriz nula . Isso garante que, independentemente do vetor escolhido em , o produto sempre será o vetor zero em .

Resposta

Se a transformação linear é nula, então a matriz deve ser a matriz nula .

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