Seja f o operador linear sobre o R^2 dado por f(x, y)=(x cos theta-y sen theta, x sen theta+y cos theta). Se theta é um múltiplo inteiro de pi, verirfique que os autovalores de f são lambda=-1 e lambda=1.

Passo 1

Beleza, então o enunciado quer que a gente descubra quais são os autovalores do operador linear definido por , onde é um múltiplo inteiro de . Vamos usar alguns conceitos de álgebra linear para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um autovalor de um operador linear é aquele que satisfaz a equação para algum vetor não nulo . Para encontrar esses valores, a gente precisa resolver a equação característica que é dada por , onde é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos representar o operador linear A = cos theta & -sin theta sin theta & cos theta como uma matriz. A matriz de fica assim:

Passo 4

Agora, vamos montar a matriz A - lambda I = cos theta - lambda & -sin theta sin theta & cos theta - lambda :
det(A - lambda I) = (cos theta - lambda)^2 + sin^2 theta
Para encontrar o determinante dessa matriz:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão. Sabemos que (cos theta - lambda)^2 + sin^2 theta = cos^2 theta - 2lambda cos theta + lambda^2 + sin^2 theta = 1 - 2lambda cos theta + lambda^2 , então:
lambda^2 - 2lambda cos theta + 1 = 0
Então, a equação característica fica:

Passo 6

Como cos theta = cos(kpi) = (-1)^k e sin theta = sin(kpi) = 0 é um múltiplo inteiro de lambda^2 - 2lambda (-1)^k + 1 = 0 , podemos escrever , onde é um inteiro. Nesse caso:
Substituindo na equação característica:

Passo 7

Vamos resolver a equação quadrática para lambda = 2(-1)^k pm raiz[2(-1)^k]^2 - 4 cdot 1 cdot 12 = (-1)^k pm raiz1 - 1 = (-1)^k :
Ou seja, os possíveis valores de são , que para qualquer inteiro resulta em ou .

Resposta

Os autovalores de são e .

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