Seja o operador linear sobre o dado por , . Se é um múltiplo inteiro de , verirfique que os autovalores de são e .
Passo 1
Beleza, então o enunciado quer que a gente descubra quais são os autovalores do operador linear definido por , onde é um múltiplo inteiro de . Vamos usar alguns conceitos de álgebra linear para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um autovalor de um operador linear é aquele que satisfaz a equação para algum vetor não nulo . Para encontrar esses valores, a gente precisa resolver a equação característica que é dada por , onde é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos representar o operador linear como uma matriz. A matriz de fica assim:
Passo 4
Agora, vamos montar a matriz :
Para encontrar o determinante dessa matriz:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão. Sabemos que , então:
Então, a equação característica fica:
Passo 6
Como é um múltiplo inteiro de , podemos escrever , onde é um inteiro. Nesse caso:
Substituindo na equação característica:
Passo 7
Vamos resolver a equação quadrática para :
Ou seja, os possíveis valores de são , que para qualquer inteiro resulta em ou .