Seja
o operador linear sobre o
dado por
,
. Se
é um múltiplo inteiro de
, verirfique que os autovalores de
são
e
.
Passo 1
Beleza, então o enunciado quer que a gente descubra quais são os autovalores do operador linear
definido por
, onde
é um múltiplo inteiro de
. Vamos usar alguns conceitos de álgebra linear para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um autovalor
de um operador linear
é aquele que satisfaz a equação
para algum vetor não nulo
. Para encontrar esses valores, a gente precisa resolver a equação característica que é dada por
, onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos representar o operador linear
como uma matriz. A matriz de
fica assim:
Passo 4
Agora, vamos montar a matriz
:
Para encontrar o determinante dessa matriz:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão. Sabemos que
, então:
Então, a equação característica fica:
Passo 6
Como
é um múltiplo inteiro de
, podemos escrever
, onde
é um inteiro. Nesse caso:
Substituindo na equação característica:
Passo 7
Vamos resolver a equação quadrática para
:
Ou seja, os possíveis valores de
são
, que para qualquer inteiro
resulta em
ou
.
Resposta
Os autovalores de
são
e
.