Nos Exercícios 13-16, sem utilizar papel e lápis, determine se o sistema homogêneo tem soluções não triviais.
$$
15. a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+a_{13} x_{3}=0$


Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente tem um sistema de equações homogêneo, ou seja, todas as equações igualadas a zero. O objetivo é descobrir se esse sistema tem soluções não triviais, ou seja, soluções onde pelo menos uma das variáveis não é zero.
As equações dadas são:
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = 0
x2 - 8 x3 = 0
4 x3 = 0
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = 0
Vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares e soluções de sistemas homogêneos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, olhamos para a terceira equação:
4 x3 = 0
Essa equação é bem direta. Se multiplicarmos ou dividirmos ambos os lados por 4, temos:
x3 = 0
Então, já sabemos que tem que ser zero.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda equação:
x2 - 8 x3 = 0
Sabemos que x2 - 8 times 0 = 0 Rightarrow x2 = 0 , então substituindo:
Então, também tem que ser zero.

Passo 4

Agora, olhamos para a primeira equação:
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = 0
Sabemos que a11 x1 + 0 + 0 = 0 Rightarrow a11 x1 = 0 e , então:
Dependendo do valor de , temos duas situações:
  1. Se , então .
  2. Se , então qualquer valor de satisfaz a equação.

Passo 5

Por fim, vamos para a quarta equação:
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = 0
Como a21 x1 + 0 + 0 = 0 Rightarrow a21 x1 = 0 e , temos:
Novamente, duas situações:
  1. Se , então .
  2. Se , então qualquer valor de satisfaz a equação.

Passo 6

Agora, vamos juntar tudo:
  • Se ambos e forem diferentes de zero, então , além de e . Aqui, a única solução é a trivial.
  • Se ambos e forem iguais a zero, então pode ser qualquer valor, enquanto e . Nesse caso, temos soluções não triviais.
  • Se apenas um entre e for zero, digamos e , então tem que ser zero (pela quarta equação), resultando novamente na solução trivial. O mesmo vale se e .

Resposta

O sistema homogêneo tem soluções não triviais se e somente se e . Caso contrário, a única solução é a trivial, onde todas as variáveis são zero.

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