Nos Exercícios 13-16, sem utilizar papel e lápis, determine se o sistema homogêneo tem soluções não triviais.
$$
15. a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+a_{13} x_{3}=0$
15. a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+a_{13} x_{3}=0$
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente tem um sistema de equações homogêneo, ou seja, todas as equações igualadas a zero. O objetivo é descobrir se esse sistema tem soluções não triviais, ou seja, soluções onde pelo menos uma das variáveis não é zero.
As equações dadas são:
Vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares e soluções de sistemas homogêneos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, olhamos para a terceira equação:
Essa equação é bem direta. Se multiplicarmos ou dividirmos ambos os lados por 4, temos:
Então, já sabemos que
tem que ser zero.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda equação:
Sabemos que
, então substituindo:
Então,
também tem que ser zero.
Passo 4
Agora, olhamos para a primeira equação:
Sabemos que
e
, então:
Dependendo do valor de
, temos duas situações:
- Se
, então . - Se
, então qualquer valor de satisfaz a equação.
Passo 5
Por fim, vamos para a quarta equação:
Como
e
, temos:
Novamente, duas situações:
- Se
, então . - Se
, então qualquer valor de satisfaz a equação.
Passo 6
Agora, vamos juntar tudo:
-
Se ambos
e forem diferentes de zero, então , além de e . Aqui, a única solução é a trivial. -
Se ambos
e forem iguais a zero, então pode ser qualquer valor, enquanto e . Nesse caso, temos soluções não triviais. -
Se apenas um entre
e for zero, digamos e , então tem que ser zero (pela quarta equação), resultando novamente na solução trivial. O mesmo vale se e .
Resposta
O sistema homogêneo tem soluções não triviais se e somente se
e
. Caso contrário, a única solução é a trivial, onde todas as variáveis são zero.