Se A e B são matrizes simétricas e idempotentes e , verifique que também é idempotente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre matrizes simétricas e idempotentes. Ou seja, temos duas matrizes, A e B, que são iguais às suas transpostas (A = Aᵀ e B = Bᵀ) e, quando multiplicadas por elas mesmas, dão elas mesmas de volta (A² = A e B² = B). A gente também sabe que (A - B) multiplicado por B dá zero. A missão é mostrar que (A - B) também é idempotente, ou seja, que (A - B)² é igual a (A - B).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser idempotente. Se uma matriz M é idempotente, então M² = M. Nosso objetivo é provar que (A - B)² = A - B.
Vamos expandir (A - B)²:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar isso:
Então, substituindo de volta:

Passo 4

Sabemos que A e B são simétricas, então A B = B A. Além disso, como A e B são idempotentes, A² = A e B² = B. Substituindo essas igualdades:
Como A B = B A, podemos simplificar:

Passo 5

Mas, o enunciado nos diz que (A - B) B = 0. Vamos desenvolver isso:
Sabemos que B² = B, então:
Substituindo de volta na equação anterior:

Resposta

Portanto, mostramos que , ou seja, também é idempotente.

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