Se A e B são matrizes simétricas e idempotentes e (A-B) cdot B=0, verifique que A-B também é idempotente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre matrizes simétricas e idempotentes. Ou seja, temos duas matrizes, A e B, que são iguais às suas transpostas (A = Aᵀ e B = Bᵀ) e, quando multiplicadas por elas mesmas, dão elas mesmas de volta (A² = A e B² = B). A gente também sabe que (A - B) multiplicado por B dá zero. A missão é mostrar que (A - B) também é idempotente, ou seja, que (A - B)² é igual a (A - B).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser idempotente. Se uma matriz M é idempotente, então M² = M. Nosso objetivo é provar que (A - B)² = A - B.
Vamos expandir (A - B)²:
(A - B)^2 = (A - B)(A - B) = A(A - B) - B(A - B)

Passo 3

Agora, vamos multiplicar isso:
A(A - B) = A cdot A - A cdot B = A^2 - A B
B(A - B) = B cdot A - B cdot B = B A - B^2
Então, substituindo de volta:
(A - B)^2 = (A^2 - A B) - (B A - B^2)

Passo 4

Sabemos que A e B são simétricas, então A B = B A. Além disso, como A e B são idempotentes, A² = A e B² = B. Substituindo essas igualdades:
(A - B)^2 = (A - A B) - (B A - B) = A - A B - B A + B
Como A B = B A, podemos simplificar:
A - A B - B A + B = A - 2 A B + B

Passo 5

Mas, o enunciado nos diz que (A - B) B = 0. Vamos desenvolver isso:
(A - B) B = A B - B^2 = 0
Sabemos que B² = B, então:
A B - B = 0 Rightarrow A B = B
Substituindo de volta na equação anterior:
A - 2 B + B = A - B

Resposta

Portanto, mostramos que , ou seja, também é idempotente.

Exercícios relacionados