Encontre a inversa das matrizes abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inversa das matrizes A, B e C que você me mandou. Isso faz parte da álgebra linear, especificamente sobre matrizes e suas inversas. Para encontrar a inversa de uma matriz, a gente vai precisar calcular o determinante dela e a matriz adjunta. Se o determinante for diferente de zero, a inversa existe e podemos seguir os passos. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos trabalhar com a matriz A:

Passo 3

Calculando o determinante de A:
O determinante de uma matriz 3x3 é dado por:
onde a, b, c, d, e, f, g, h, i são os elementos da matriz.
Aplicando na nossa matriz A:

Passo 4

Como o determinante de A é 1, que é diferente de zero, a inversa existe. Agora, vamos calcular a matriz adjunta de A.
Calculando a matriz de cofatores de A:
Para cada elemento de A, calculamos o cofator, que envolve calcular determinantes de menores 2x2.
Vamos calcular cada cofator:
  • Cofator :
  • Cofator :
  • Cofator :
  • Cofator :
  • Cofator :
  • Cofator :
  • Cofator :
  • Cofator :
  • Cofator :
Matriz de Cofatores de A:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a matriz adjunta de A, que é a transposta da matriz de cofatores:

Passo 6

Por fim, a inversa de A é a adjunta dividida pelo determinante:

Passo 7

Agora, vamos fazer o mesmo processo para a matriz B:

Passo 8

Calculando o determinante de B:
Aplicando a fórmula do determinante:

Passo 9

Como o determinante de B é 2, que é diferente de zero, a inversa existe. Vamos calcular a matriz adjunta de B.
Calculando a matriz de cofatores de B:
  • Cofator :
  • Cofator :
  • Cofator :
  • Cofator :
  • Cofator :
  • Cofator :
  • Cofator :
  • Cofator :
  • Cofator :
Matriz de Cofatores de B:

Passo 10

Agora, encontramos a matriz adjunta de B, que é a transposta da matriz de cofatores:

Passo 11

A inversa de B é a adjunta dividida pelo determinante:

Passo 12

Agora, vamos para a matriz C:

Passo 13

Calculando o determinante de C:
Aplicando a fórmula do determinante:

Passo 14

Como o determinante de C é 1, que é diferente de zero, a inversa existe. Vamos calcular a matriz adjunta de C.
Calculando a matriz de cofatores de C:
  • Cofator :
  • Cofator :
  • Cofator :
  • Cofator :
  • Cofator :
  • Cofator :
  • Cofator :
  • Cofator :
  • Cofator :
Matriz de Cofatores de C:

Passo 15

Encontramos a matriz adjunta de C, que é a transposta da matriz de cofatores:

Passo 16

Finalmente, a inversa de C é a adjunta dividida pelo determinante:

Resposta

As inversas das matrizes são:

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