Encontre a inversa das matrizes abaixo.
& B=[ccc 1 & 3 & -2 2 & 8 & -3 1 & 7 & 1 ] & C=[ccc 2 & 1 & -1 5 & 2 & -3 0 & 2 & 1 ]
Passo 1
Beleza, vamos resolver a inversa das matrizes A, B e C que você me mandou. Isso faz parte da álgebra linear, especificamente sobre matrizes e suas inversas. Para encontrar a inversa de uma matriz, a gente vai precisar calcular o determinante dela e a matriz adjunta. Se o determinante for diferente de zero, a inversa existe e podemos seguir os passos. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos trabalhar com a matriz A:
Passo 3
Calculando o determinante de A:
O determinante de uma matriz 3x3 é dado por:
onde a, b, c, d, e, f, g, h, i são os elementos da matriz.
Aplicando na nossa matriz A:
Passo 4
Como o determinante de A é 1, que é diferente de zero, a inversa existe. Agora, vamos calcular a matriz adjunta de A.
Calculando a matriz de cofatores de A:
Para cada elemento de A, calculamos o cofator, que envolve calcular determinantes de menores 2x2.
Vamos calcular cada cofator:
- Cofator
:Menor = |cc -1 & 3 1 & 8 | = (-1)(8) - (3)(1) = -8 - 3 = -11 C11 = (-1)^1+1 times (-11) = 1 times (-11) = -11
- Cofator
:Menor = |cc 2 & -1 4 & 1 | = (2)(1) - (-1)(4) = 2 + 4 = 6 C13 = (-1)^1+3 times 6 = 1 times 6 = 6
- Cofator
:Menor = |cc 1 & 2 4 & 8 | = (1)(8) - (2)(4) = 8 - 8 = 0 C22 = (-1)^2+2 times 0 = 1 times 0 = 0
- Cofator
:Menor = |cc 0 & 2 -1 & 3 | = (0)(3) - (2)(-1) = 0 + 2 = 2 C31 = (-1)^3+1 times 2 = 1 times 2 = 2
- Cofator
:Menor = |cc 1 & 0 2 & -1 | = (1)(-1) - (0)(2) = -1 - 0 = -1 C33 = (-1)^3+3 times (-1) = 1 times (-1) = -1
- Cofator
:
- Cofator
:
- Cofator
:
- Cofator
:
Matriz de Cofatores de A:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a matriz adjunta de A, que é a transposta da matriz de cofatores:
Passo 6
Por fim, a inversa de A é a adjunta dividida pelo determinante:
Passo 7
Agora, vamos fazer o mesmo processo para a matriz B:
Passo 8
Calculando o determinante de B:
Aplicando a fórmula do determinante:
Passo 9
Como o determinante de B é 2, que é diferente de zero, a inversa existe. Vamos calcular a matriz adjunta de B.
Calculando a matriz de cofatores de B:
- Cofator
:Menor = |cc 8 & -3 7 & 1 | = (8)(1) - (-3)(7) = 8 + 21 = 29 C11 = (-1)^1+1 times 29 = 1 times 29 = 29
- Cofator
:Menor = |cc 2 & 8 1 & 7 | = (2)(7) - (8)(1) = 14 - 8 = 6 C13 = (-1)^1+3 times 6 = 1 times 6 = 6
- Cofator
:Menor = |cc 1 & -2 1 & 1 | = (1)(1) - (-2)(1) = 1 + 2 = 3 C22 = (-1)^2+2 times 3 = 1 times 3 = 3
- Cofator
:Menor = |cc 3 & -2 8 & -3 | = (3)(-3) - (-2)(8) = -9 + 16 = 7 C31 = (-1)^3+1 times 7 = 1 times 7 = 7
- Cofator
:Menor = |cc 1 & 3 2 & 8 | = (1)(8) - (3)(2) = 8 - 6 = 2 C33 = (-1)^3+3 times 2 = 1 times 2 = 2
- Cofator
:
- Cofator
:
- Cofator
:
- Cofator
:
Matriz de Cofatores de B:
Passo 10
Agora, encontramos a matriz adjunta de B, que é a transposta da matriz de cofatores:
Passo 11
A inversa de B é a adjunta dividida pelo determinante:
Passo 12
Agora, vamos para a matriz C:
Passo 13
Calculando o determinante de C:
Aplicando a fórmula do determinante:
Passo 14
Como o determinante de C é 1, que é diferente de zero, a inversa existe. Vamos calcular a matriz adjunta de C.
Calculando a matriz de cofatores de C:
- Cofator
:Menor = |cc 2 & -3 2 & 1 | = (2)(1) - (-3)(2) = 2 + 6 = 8 C11 = (-1)^1+1 times 8 = 1 times 8 = 8
- Cofator
:Menor = |cc 5 & 2 0 & 2 | = (5)(2) - (2)(0) = 10 - 0 = 10 C13 = (-1)^1+3 times 10 = 1 times 10 = 10
- Cofator
:Menor = |cc 2 & -1 0 & 1 | = (2)(1) - (-1)(0) = 2 - 0 = 2 C22 = (-1)^2+2 times 2 = 1 times 2 = 2
- Cofator
:Menor = |cc 1 & -1 2 & -3 | = (1)(-3) - (-1)(2) = -3 + 2 = -1 C31 = (-1)^3+1 times (-1) = 1 times (-1) = -1
- Cofator
:Menor = |cc 2 & 1 5 & 2 | = (2)(2) - (1)(5) = 4 - 5 = -1 C33 = (-1)^3+3 times (-1) = 1 times (-1) = -1
- Cofator
:
- Cofator
:
- Cofator
:
- Cofator
:
Matriz de Cofatores de C:
Passo 15
Encontramos a matriz adjunta de C, que é a transposta da matriz de cofatores:
Passo 16
Finalmente, a inversa de C é a adjunta dividida pelo determinante:
Resposta
As inversas das matrizes são: