Encontre a inversa das matrizes abaixo.
A=[ccc 1 & 0 & 2 2 & -1 & 3 4 & 1 & 8 ]
& B=[ccc 1 & 3 & -2 2 & 8 & -3 1 & 7 & 1 ] & C=[ccc 2 & 1 & -1 5 & 2 & -3 0 & 2 & 1 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inversa das matrizes A, B e C que você me mandou. Isso faz parte da álgebra linear, especificamente sobre matrizes e suas inversas. Para encontrar a inversa de uma matriz, a gente vai precisar calcular o determinante dela e a matriz adjunta. Se o determinante for diferente de zero, a inversa existe e podemos seguir os passos. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos trabalhar com a matriz A:
A=[ccc 1 & 0 & 2 2 & -1 & 3 4 & 1 & 8 ]

Passo 3

Calculando o determinante de A:
O determinante de uma matriz 3x3 é dado por:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
onde a, b, c, d, e, f, g, h, i são os elementos da matriz.
Aplicando na nossa matriz A:
det(A) = 1((-1)(8) - 3(1)) - 0(2(8) - 3(4)) + 2(2(1) - (-1)(4)) det(A) = 1(-8 - 3) - 0(16 - 12) + 2(2 + 4) det(A) = 1(-11) + 0(4) + 2(6) det(A) = -11 + 0 + 12 det(A) = 1

Passo 4

Como o determinante de A é 1, que é diferente de zero, a inversa existe. Agora, vamos calcular a matriz adjunta de A.
Calculando a matriz de cofatores de A:
Para cada elemento de A, calculamos o cofator, que envolve calcular determinantes de menores 2x2.
Vamos calcular cada cofator:
  • Cofator Menor = |cc -1 & 3 1 & 8 | = (-1)(8) - (3)(1) = -8 - 3 = -11 C11 = (-1)^1+1 times (-11) = 1 times (-11) = -11 :
Menor = |cc 2 & 3 4 & 8 | = (2)(8) - (3)(4) = 16 - 12 = 4 C12 = (-1)^1+2 times 4 = -1 times 4 = -4
  • Cofator Menor = |cc 2 & -1 4 & 1 | = (2)(1) - (-1)(4) = 2 + 4 = 6 C13 = (-1)^1+3 times 6 = 1 times 6 = 6 :
Menor = |cc 0 & 2 1 & 8 | = (0)(8) - (2)(1) = 0 - 2 = -2 C21 = (-1)^2+1 times (-2) = -1 times (-2) = 2
  • Cofator Menor = |cc 1 & 2 4 & 8 | = (1)(8) - (2)(4) = 8 - 8 = 0 C22 = (-1)^2+2 times 0 = 1 times 0 = 0 :
Menor = |cc 1 & 0 4 & 1 | = (1)(1) - (0)(4) = 1 - 0 = 1 C23 = (-1)^2+3 times 1 = -1 times 1 = -1
  • Cofator Menor = |cc 0 & 2 -1 & 3 | = (0)(3) - (2)(-1) = 0 + 2 = 2 C31 = (-1)^3+1 times 2 = 1 times 2 = 2 :
Menor = |cc 1 & 2 2 & 3 | = (1)(3) - (2)(2) = 3 - 4 = -1 C32 = (-1)^3+2 times (-1) = -1 times (-1) = 1
  • Cofator Menor = |cc 1 & 0 2 & -1 | = (1)(-1) - (0)(2) = -1 - 0 = -1 C33 = (-1)^3+3 times (-1) = 1 times (-1) = -1 :
Cof(A) = [ccc -11 & -4 & 6 2 & 0 & -1 2 & 1 & -1 ]
  • Cofator :
  • Cofator :
  • Cofator :
  • Cofator :
Matriz de Cofatores de A:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a matriz adjunta de A, que é a transposta da matriz de cofatores:
Adj(A) = [ccc -11 & 2 & 2 -4 & 0 & 1 6 & -1 & -1 ]

Passo 6

Por fim, a inversa de A é a adjunta dividida pelo determinante:
A^-1 = 1det(A) times Adj(A) = 1 times Adj(A) = [ccc -11 & 2 & 2 -4 & 0 & 1 6 & -1 & -1 ]

Passo 7

Agora, vamos fazer o mesmo processo para a matriz B:
B=[ccc 1 & 3 & -2 2 & 8 & -3 1 & 7 & 1 ]

Passo 8

Calculando o determinante de B:
Aplicando a fórmula do determinante:
det(B) = 1(8 cdot 1 - (-3) cdot 7) - 3(2 cdot 1 - (-3) cdot 1) + (-2)(2 cdot 7 - 8 cdot 1) det(B) = 1(8 + 21) - 3(2 + 3) + (-2)(14 - 8) det(B) = 1(29) - 3(5) + (-2)(6) det(B) = 29 - 15 -12 det(B) = 2

Passo 9

Como o determinante de B é 2, que é diferente de zero, a inversa existe. Vamos calcular a matriz adjunta de B.
Calculando a matriz de cofatores de B:
  • Cofator Menor = |cc 8 & -3 7 & 1 | = (8)(1) - (-3)(7) = 8 + 21 = 29 C11 = (-1)^1+1 times 29 = 1 times 29 = 29 :
Menor = |cc 2 & -3 1 & 1 | = (2)(1) - (-3)(1) = 2 + 3 = 5 C12 = (-1)^1+2 times 5 = -1 times 5 = -5
  • Cofator Menor = |cc 2 & 8 1 & 7 | = (2)(7) - (8)(1) = 14 - 8 = 6 C13 = (-1)^1+3 times 6 = 1 times 6 = 6 :
Menor = |cc 3 & -2 7 & 1 | = (3)(1) - (-2)(7) = 3 + 14 = 17 C21 = (-1)^2+1 times 17 = -1 times 17 = -17
  • Cofator Menor = |cc 1 & -2 1 & 1 | = (1)(1) - (-2)(1) = 1 + 2 = 3 C22 = (-1)^2+2 times 3 = 1 times 3 = 3 :
Menor = |cc 1 & 3 1 & 7 | = (1)(7) - (3)(1) = 7 - 3 = 4 C23 = (-1)^2+3 times 4 = -1 times 4 = -4
  • Cofator Menor = |cc 3 & -2 8 & -3 | = (3)(-3) - (-2)(8) = -9 + 16 = 7 C31 = (-1)^3+1 times 7 = 1 times 7 = 7 :
Menor = |cc 1 & -2 2 & -3 | = (1)(-3) - (-2)(2) = -3 + 4 = 1 C32 = (-1)^3+2 times 1 = -1 times 1 = -1
  • Cofator Menor = |cc 1 & 3 2 & 8 | = (1)(8) - (3)(2) = 8 - 6 = 2 C33 = (-1)^3+3 times 2 = 1 times 2 = 2 :
Cof(B) = [ccc 29 & -5 & 6 -17 & 3 & -4 7 & -1 & 2 ]
  • Cofator :
  • Cofator :
  • Cofator :
  • Cofator :
Matriz de Cofatores de B:

Passo 10

Agora, encontramos a matriz adjunta de B, que é a transposta da matriz de cofatores:
Adj(B) = [ccc 29 & -17 & 7 -5 & 3 & -1 6 & -4 & 2 ]

Passo 11

A inversa de B é a adjunta dividida pelo determinante:
B^-1 = 1det(B) times Adj(B) = 12 times [ccc 29 & -17 & 7 -5 & 3 & -1 6 & -4 & 2 ] = [ccc 14.5 & -8.5 & 3.5 -2.5 & 1.5 & -0.5 3 & -2 & 1 ]

Passo 12

Agora, vamos para a matriz C:
C=[ccc 2 & 1 & -1 5 & 2 & -3 0 & 2 & 1 ]

Passo 13

Calculando o determinante de C:
Aplicando a fórmula do determinante:
det(C) = 2(2 cdot 1 - (-3) cdot 2) - 1(5 cdot 1 - (-3) cdot 0) + (-1)(5 cdot 2 - 2 cdot 0) det(C) = 2(2 + 6) - 1(5 - 0) + (-1)(10 - 0) det(C) = 2(8) - 1(5) -1(10) det(C) = 16 - 5 -10 det(C) = 1

Passo 14

Como o determinante de C é 1, que é diferente de zero, a inversa existe. Vamos calcular a matriz adjunta de C.
Calculando a matriz de cofatores de C:
  • Cofator Menor = |cc 2 & -3 2 & 1 | = (2)(1) - (-3)(2) = 2 + 6 = 8 C11 = (-1)^1+1 times 8 = 1 times 8 = 8 :
Menor = |cc 5 & -3 0 & 1 | = (5)(1) - (-3)(0) = 5 - 0 = 5 C12 = (-1)^1+2 times 5 = -1 times 5 = -5
  • Cofator Menor = |cc 5 & 2 0 & 2 | = (5)(2) - (2)(0) = 10 - 0 = 10 C13 = (-1)^1+3 times 10 = 1 times 10 = 10 :
Menor = |cc 1 & -1 2 & 1 | = (1)(1) - (-1)(2) = 1 + 2 = 3 C21 = (-1)^2+1 times 3 = -1 times 3 = -3
  • Cofator Menor = |cc 2 & -1 0 & 1 | = (2)(1) - (-1)(0) = 2 - 0 = 2 C22 = (-1)^2+2 times 2 = 1 times 2 = 2 :
Menor = |cc 2 & 1 0 & 2 | = (2)(2) - (1)(0) = 4 - 0 = 4 C23 = (-1)^2+3 times 4 = -1 times 4 = -4
  • Cofator Menor = |cc 1 & -1 2 & -3 | = (1)(-3) - (-1)(2) = -3 + 2 = -1 C31 = (-1)^3+1 times (-1) = 1 times (-1) = -1 :
Menor = |cc 2 & -1 5 & -3 | = (2)(-3) - (-1)(5) = -6 +5 = -1 C32 = (-1)^3+2 times (-1) = -1 times (-1) = 1
  • Cofator Menor = |cc 2 & 1 5 & 2 | = (2)(2) - (1)(5) = 4 - 5 = -1 C33 = (-1)^3+3 times (-1) = 1 times (-1) = -1 :
Cof(C) = [ccc 8 & -5 & 10 -3 & 2 & -4 -1 & 1 & -1 ]
  • Cofator :
  • Cofator :
  • Cofator :
  • Cofator :
Matriz de Cofatores de C:

Passo 15

Encontramos a matriz adjunta de C, que é a transposta da matriz de cofatores:
Adj(C) = [ccc 8 & -3 & -1 -5 & 2 & 1 10 & -4 & -1 ]

Passo 16

Finalmente, a inversa de C é a adjunta dividida pelo determinante:
C^-1 = 1det(C) times Adj(C) = 1 times Adj(C) = [ccc 8 & -3 & -1 -5 & 2 & 1 10 & -4 & -1 ]

Resposta

As inversas das matrizes são:
A^-1 = [ccc -11 & 2 & 2 -4 & 0 & 1 6 & -1 & -1 ]
B^-1 = [ccc 14.5 & -8.5 & 3.5 -2.5 & 1.5 & -0.5 3 & -2 & 1 ]
C^-1 = [ccc 8 & -3 & -1 -5 & 2 & 1 10 & -4 & -1 ]

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